高三数学空间向量及其运算复习课件

要点梳理
知识回顾 理清教材
(2)共面向量定理的向量表达式：p＝ xa＋yb ，其中 x，y∈R， → → → a，b 为不共线向量，推论的表达式为MP＝xMA＋yMB 或对空 → → → → ＝ OM → ＝xOM → ＋yOA →＋ ＋xMA＋yMB 或OP 间任意一点 O，有OP → ，其中 x＋y＋z＝ zOB (3)空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有 序实数组 {x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc 做空间的一个基底 . ，把{a，b，c}叫
＋3OC＝3OA＋3OB＋3OC.
题型一
空间向量的线性运算
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 三棱锥 O—ABC 中， M，N 分别是 OA，BC
用已知向量来表示未知向量，一定 要结合图形，以图形为指导是解题 的关键 .要正确理解向量加法、减法 与数乘运算的几何意义 .首尾相接的
的中点， G 是△ABC 的重心，若干向量之和，等于由起始向量的 → ，OB → ，OC → 表示 始点指向末尾向量的终点的向量， 用基向量OA → ，OG →. MG
.
夯基释疑
夯实基础wk.baidu.com突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)√ (2) × (3) ×
A C
1 2 2 1 2 2 ，－ ， 或－ ， ，－ 3 3 3 3 3 3
(4) ×
(5) √
(6) ×
1 1 1 a＋ b＋ c 2 4 4
题型一
空间向量的线性运算
思维启迪 解析 思维升华
π b〉＝ ，则称 a 与 b 互相垂直 ，记作 a⊥b. 2
要点梳理
知识回顾 理清教材
②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a，b，则 |a||b|cos〈a，b〉 叫做
b＝|a||b|cos〈a，b〉. 向量 a， b 的数量积， 记作 a· 即 a· b ，
(2)空间向量数量积的运算律
b) ①结合律：(λa)· b＝ λ(a·
， a1b1＋a2b2＋a3b3 .
a· b cos〈 a， b〉＝ ＝ |a||b|
2 2 2 2 2 a2 ＋ a ＋ a · b ＋ b ＋ b 1 2 3 1 2 3
设 A(a1， b1， c1)， B(a2， b2，c2)， → 则 dAB＝ |AB|＝
a2－a12＋b2－b12＋c2－c12
b＝0 ⇔ a⊥ b⇔ a·
，a3＝λb3 (λ∈R) ， (a， b 均为非
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
零向量 ).
要点梳理
(3)模、夹角和距离公式 设 a＝ (a1， a2，a3)，b＝ (b1，b2，b3)， 则 |a|＝ a· a＝
2 2 a2 ＋ a ＋ a 1 2 3
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1→ 2 1 → → →] ＝2OA＋3[2(OB＋OC)－OA 的中点， G 是△ABC 的重心，＝－1OA → ＋1OB → ＋1OC →. 6 3 3
→ ，OB → ，OC → 表示 用基向量OA → → → 1→ 1→ 1→ OG＝OM ＋MG＝2OA －6 OA ＋3OB → ，OG →. MG 1→ 1→ 1→ 1→
我们可把这个法则称为向量加法的 多边形法则 .
跟踪训练 1 如图，在长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点 . 1→ 1→ A → → 1A ； (1)化简A O － AB － AD ＝ _____ 1 2 2 → ，AD → ，AA → 表示OC → ，则OC →＝ (2)用AB 1 1 1
运算表示即可. 的中点， G 是△ABC 的重心，
→ ，OB → ，OC → 表示 用基向量OA → ，OG →. MG
题型一
空间向量的线性运算
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 三棱锥 O—ABC 中， M，N 分别是 OA，BC
→ → → 1→ 2→ 解 MG＝MA＋AG＝ OA＋ AN 2 3 1→ 2 → → ＝ OA＋ (ON－OA) 2 3
②交换律：a· b＝
； ； .
b· a
b＋a· c ③分配律：a· (b＋c)＝ a·
要点梳理
4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设 a＝(a1，a2， a3)， b＝(b1， b2，b3)， 则 a· b＝
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a1b1＋a2b2＋a3b3
.
(2)共线与垂直的坐标表示 设 a＝(a1，a2， a3)， b＝(b1， b2，b3)， 则 a∥b⇔ a＝λb ⇔ a1＝λb1 ， a2＝λb2
【例 1】 三棱锥 O—ABC 中， M，N 分别是 OA，BC 的中点， G 是△ABC 的重心， → ，OB → ，OC → 表示 用基向量OA → ，OG →. MG
题型一
空间向量的线性运算
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 三棱锥 O—ABC 中， M，N 分别是 OA，BC
利用空间向量的加减法和数乘
1
.
要点梳理
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3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → ＝a， 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA → ＝ b ， 则 ∠AOB 叫 做 向 量 a 与 b 的 夹 角 ， 记 OB 作
〈a，b〉
，其范围是 0≤〈a，b〉≤π ，若〈a，
第八章
立体几何
§8.5 空间向量及其运算
要点梳理
1.空间向量的有关概念 名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 概念 模为 0 的向量
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表示 0 a＝ b A 的相反向 量为－ a a∥ b
长度 (模 )为 1 的向量 方向 相同 且模 相等 的向量 方向 相反 且模 相等 的向量
表示空间向量的有向线段所在的 共线向量 直线互相 平行或重合 的向量 共面向量 平行于同一个 平面 的向量
要点梳理
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2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对 空 间 任 意 两 个 向 量 a ， b(b≠ 0) ， a∥b 的 充 要 条 件 是 存在实数λ，使得a＝λb . 推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是 → ＝OA → ＋ ta① OP → 其中 a 叫直线 l 的方向向量， t∈R， 在 l 上取AB＝ → → → → → a，则①可化为OP＝ OA＋ tAB或OP＝ (1－ t)OA＋ → tOB.