高等数学2017年最新课件空间中的平面与直线

即
d || M 0 N || || M 0 M1 || | cos |
d || M 0 N || || M 0 M1 || | cos |
|| M 0 M 1 || | M 0 M1 n | || M 0 M 1 || || n ||
| M 0 M1 n | || n ||
取其一解 ( x0 , y0 , z0 )，则 Ax 0 By 0 Cz 0 D 0
(1)同解于 A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
(1)的图形是平面。
Ax By Cz D 0
法向量
—平面的一般（式）方程。
n ( A, B, C ).
我们称垂直于平面 的任何非零向量为的法方向或法向， 因此，n即为 之一个法向. 方程(1)依赖于法向n及定点M(x0, y0, z0). 故(1)称为平面 的 法点式方程.
A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0
法点式方程
例 1 求过三点 A( 2,1,4) 、 B( 1,3,2) 和C (0,2,3) 的 平面方程.
x 1 y 1 z 例 9 求过 M ( 2,1,3) 且与 L: 垂直相交的直 3 2 1
线方程.
解 先作过点M且与已知直线 L 垂直的平面
L

M N
3( x 2) 2( y 1) ( z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,

3 交点 2 13 3 x 3t 1 代入平面方程，得 t , N ( , , ) 7 7 7 7 由 y 2t 1， 2 13 3 z t 取方向向量 MN ( 2, 1, 3) 7 7 7
所求平面方程为
n (4,1,2), 4 A B 2C 0
由过点(6,3, 2) 知
6 A 3 B 2C 0
2 x 2 y 3 z 0.
3、平面的截距式方程 设平面方程为
aA D 0, 将三点坐标代入方程，得 bB D 0, cC D 0, D 平面方程为 D D A , B , C . c b a D D D ( ) x ( y ) ( x ) D 0 a b c
l
设 M0 ( x0 , y0 , z0 ) L, s (m, n, p) 为 L 的一个方向向量
M r
s
r0
o
M0
y
M ( x, y, z )为L上任一点
x
OM r , OM0 r0
点
直线 l 上的充要条件是 M在 0 即 M 0 M ts 亦即 r r0 ts
平面一般方程的几种特殊情况：
Ax By Cz D 0
(1) D 0,
平面通过坐标原点； 平面通过 轴； x 平面平行于 轴； x
D 0, ( 2) A 0, D 0,
类似地可讨论
B 0, C 情形 0.
平面平行于 坐标面； xoy
( 3) A B 0,
§4. 空间中的平面与直线
空间中的平面及其方程。 空间直线及其方程。
一、空间中的平面及其方程
1、平面的点法式方程
几何上，任给空间中某一点，及某一方向，都可且 只可做一条过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用 解析式描述此几何关系.
设：平面过定点M0(x0, y0, z0)且垂直于方向n=(A, B,C).

解
AB ( 3,4,6), AC ( 2,3,1).
取 n AB AC (14, 9,1),
所求平面的点法式方程为
14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0,
化简得 14 x 9 y z 15 0.
例 2 求过点(1,1,1) ，且垂直于平面 x y z 7 和 3 x 2 y 12 z 5 0 的平面方程. 解 x y z 7 的法向量为n1 (1,1, 1), 3 x 2 y 12z 5 0 的法向量为n2 (3, 2,12) 取法向量 n n1 n2 (10, 15, 5),
所求平面方程为 化简得
10( x 1) 15( y 1) 5( z 1) 0,
2 x 3 y z 6 0.
一般地，设平面 过M1, M2, M3三点, M1, M2, M3不共线. 即 M1 M 2 M1 M3 0.
则得平面方程为：
M1M (M1M 2 M1M 3 ) 0,
i
j k
j k (0, 1, 1).
1 1 1 0 1 1
故得平面方程为
0( x 1) ( y 0) ( z 0) 0.
即
y z 0.
二、空间直线及其方程
1.由直线上一点与直线 l 的方向决定的直线方程 如果一个非零向量平行于直线L，就称这个向量为直线 的一个方向向量． z
类似地可讨论
情形 A C 0, B C .0
例3
设平面过原点及点 (6,3, 2) ，且与平面
4 x y 2 z 8 垂直，求此平面方程。 解 设平面 ： Ax By Cz D 0,
由过原点知
D 0,
2 0， A B C , A、B、C不全为 3 可 取 A 2、B 2、C 3，
解：
M1

设1法向n1=(1, 1, 1). n1 则 平面 // n1 . 而 过点M1, M2. 故 平面 // M1M2 .

M2
因此，平面 n1M1M2 .
即 的法向 n =n1M1M2 .
n (1,
1, 1) (1 1, 1 0, 1 0)
MM 0与s 共线
故
r r0 ts
( t为参数)
(1)
（1）式叫做直线 l 的向量式参数方程
因为 M 0 M // s M 0 M ts ，

即
得
( x x0 , y y0 , z z0 ) t (m, n, p)，
x x0 mt L : y y0 nt z z pt 0
即
i x 2 x1 x 2 x1
j y2 y1 y3 y1
k z 2 z1 ( x x1 , y y1 , z z1 ) 0, z 3 z1
x x1 x 2 x1 x 2 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z 2 z1 0. z 3 z1
y n
M0

M

任取平面上一点M(x, y, z). 由已知，nM0M，

0 z
xHale Waihona Puke Baidu
故 nM0M=0.
(A, B, C)(xx0, yy0, zz0) = A(x x0)+B(y y0)+C(z z0) = 0.
(1)
即平面上任意点M(x, y, z)都满足方程(1). 反之若(x, y, z)满足(1)，则由(1). n与 M0M 垂直. 即M在平面 上.
的法向量 2 : 2x y z 2 0
L n1 , L n2
直线l的方向向量
i j
s n1 n2 3 2 1 i 5 j 7k 2 1 1
求直线L上一点M0(x0,y0,z0)
k
2 y z 4 得 Y0=4,z0=4 令x0=1 则 y z 0 x 1 y 4 z 4 所求直线L方程为 1 5 7

| A( x1 x0 ) B( y1 y0 ) C ( z z0 ) | A B C
2 2 2
,
即
d
| Ax0 By0 Cz0 D | A2 B 2 C 2
.
点到平面的 距离公式
例5. 设平面 过点M1(1, 0, 0), M2(1, 1, 1)且与 平面1：x+y+z=0垂直， 求平面 .
即
x轴上截距
Ax By Cz D 0,
x y z 1 a b c
——平面的截距式方程
y轴上截距
z轴上截距
4、点到平面的距离
解：如图
M0


N

M
1

设平面 : Ax+By+Cz+D=0. 则 平面上点M1(x1, y1, z1)满足 由于 M0N 为之法向.故 A1x+B1y+C1z+D1=0. M0N // (A, B, C). n
2.直线的一般方程 若空间直线L为两平面
z
1
L
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0
2
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
的交线， 则
o
y
x
A1 x B1 y C 1 z D1 0 L: A2 x B2 y C 2 z D2 0
(不唯一)
——空间直线的一般方程。
在直角坐标系下，
1两平面的法向量分别为 和 2
n1 { A1 , B1 , C1 }, n2 { A2 , B2 , C2 }
所以直线 l 的方向向量可取为
B1 s n1 n2 B2
C1 , C2
C1 C2
A1 , A2
平面的三点式 方程.
2、平面的一般方程
由点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0（一次方程） ; D 反之，对一次方程 Ax By Cz D 0 (1)
解
因为直线和y 轴垂直相交,
所以交点为 所求直线方程 注：
B(0,3, 0),
取
s BA ( 2, 0, 4),
x2 y3 z4 . 2 0 4
——两点式方程。
若 M1 ( x1 , y1 , z1 )、M2 ( x2 , y2 , z2 ) L，M1 M2，则
x x1 y y1 z z1 L: x 2 x1 y2 y1 z 2 z1
A1 A2
B1 B2
例 8 将直线L
3 x 2 y z 1 0 化成对称式方程 2 x y z 2 0
解：平面
n1 ( A1 , B1 , C1 ) (3,2,1)
平面
1 : 3 x 2 y z 1的法向量 0
n2 ( A2 , B2 , C2 ) (2,1,1)
——直线的(坐标式)参数方程
将直线的参数方程中的参数 t 消去，则可得到
x x 0 y y0 z z 0 m n p
——直线L的标准方程或对称式 方程。
直线L的一组方向数。
方向向量的方向余弦称为该直线的方向余弦
例 7 一直线过点 A( 2,3,4) ，且和 y 轴垂直相交， 求其 方程.
6 ( 2,1,4), 7
所求直线方程为
x 2 y 1 z 3 . 2 1 4