算术平均值及其中误差

§6－4 算术平均值及其中误差

设在相同的观测条件下对某量进行了n 次等精度观测，观测值为L 1、L 2、…、L n ，其真值为X ，真误差为Δ1、Δ2、…、Δn 。由（6-1）式可写出观测值的真误差公式为

X L i i -=∆ （i =1,2,…,n ）

将上式相加后，得

nX L -=∆][][

故

n n L X ][][∆-=

若以x 表示上式中右边第一项的观测值的算术平均值，即

[]

n L x = （6-17）

则 []n x X ∆-=

上式右边第二项是真误差的算术平均值。由偶然误差的第四特性可知，当观测次数n 无限增多时，[]0→∆n ，则X x →，即算术平均值就是观测量的真值。

在实际测量中，观测次数总是有限的。根据有限个观测值求出的算术平均值x 与其真值

X 仅差一微小量[]

n ∆。故算术平均值是观测量的最可靠值，通常也称为最或是值(most probable value)。

由于观测值的真值X 一般无法知道，故真误差Δ也无法求得。所以不能直接应用（6-3）式求观测值的中误差，而是利用观测值的最或是值x 与各观测值之差V 来计算中误差，V 被称为改正数，L 为观测值，即

V =x-L （6-18）

实际工作中利用改正数计算观测值中误差的实用公式称为白塞尔公式。即 []

1-±=n VV m （6-19）

利用[V ]=0，[VV ]=[LV ]检核式，可作计算正确性的检核。

在求出观测值的中误差m 后，就可应用误差传播定律求观测值算术平均值的中误差M ，推导如下：

[]n L n L n L n L x n +++==

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应用误差传播定律有

n m M m n m n m n m n

M x x ±==+++=2222222221)1()1()1(

（6-20） 由上式可知，增加观测次数能削弱偶然误差对算术平均值的影响，提高其精度。但因观测次数与算术平均值中误差并不是线性比例关系，所以，当观测次数达到一定数目后，即使再增加观测次数，精度却提高得很少。因此，除适当增加观测次数外，还应选用适当的观测仪器和观测方法，选择良好的外界环境，才能有效地提高精度。

【例】 对某段距离进行了5次等精度观测，观测结果列于表6-2，试求该段距离的最或是值、观测值中误差及最或是值中误差。计算见表6-2。

表6－2 等精度观测计算