离散数学 第1章 集合及其运算

1.2 集合的运算及其性质
一、集合的运算
集合的运算有并、交、差、补和对称差。 1。集合的并 由所有属于A或属于B的元素组成的集合称为集 合A与B的并集，记作A B 。 例如A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，A B {1,2,3,4,6} 2。集合的交 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为 集合A与B的交集，记作 A B 。 例如A={1,2,3,4}，B={2,4,6}， A B {2,4}
例1 设A={1,2,3}，则P(A)= 。 解： P(A)= {φ,{1},{2}, {3},{1,2),{1,3},{2,3},A} 例2 设A={φ ,{a}}，则P(A)= 。 解： P(A)= {φ,{φ},{{a}}, {φ,{a}}} 例3 设A={a ,{a}}，下列命题中不正确的是 。 (1) {a} P( A) (2) {a} P( A) (3) {{a}} P( A) (4) {{a}} P( A) 解:∵ P(A)= {φ,{a},{{a}}, {a,{a}}} ,∴不正确的是(2)
Hale Waihona Puke Baidu
在集合的概念中需要强调指出三点：
1。集合中相同的元素，不论出现多少次，都被 看作为一个元素。 2。集合中的元素是没有排列顺序的。例如集合 A中的元素是a、b、c，集合B中的元素是c、a、b， 那么，它们表示的是同一个集合。 3。集合中的元素可以是数、点、事物，还可以 是集合。 根据集合中元素的个数，集合可分为有限集合 和无限集合。 有限集合A中所包含的元素的个数以|A|表示。
二、集合的表示方法
1．列举法 列出集合中的所有元素，用大括号括起来。 例如，A={a,b,c,d},N={0,1,2,3,…}。 2。描述法 在大括号中，先说明元素怎样表示，再描述元素 具有的共同属性， 例如，N={x|x是非负整数},D={(x,y)| x, y R且x 0且y 0 } 3。图示法——文氏图 用一个简单的平面区域(通常用圆)表示一个集合， 不同的集合用不同的平面区域表示。区域内的点表示 集合中的元素。
例5
设A,B,C是整数集Z的子集，其中A={1,2,4} B {x | x 2 10, x Z}, C {x | x Z ,0 x 10, x被3整除} 求 A B C, ~ A C, | B C | 解： A={1,2,4}，B={-3,-2,-1,0,1,2,3}，C={0,3,6,9}
四、特殊集合
1。空集：不包含任何元素的集合，记作φ 。 空集是任何集合的子集。 φ 与{φ}是不同的。 2。全集：研究对象的全体组成的集合，用E表示。 任何集合都是全集的子集。 3。幂集：一个集合的所有子集组成的集合，记作P(A) 如A={a,b}，P(A)={φ,{a},{b},{a,b}} 说明：⑴幂集中所有的元素都是集合。 ⑵φ与P(φ)是不同的，φ中没有元素，P(φ)中有一 个元素φ ，P(φ)={φ}。 ⑶若A中有n个元素，则P(A)中有2n个元素。
三、集合之间的关系
若集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，称 集合A是集合B的子集，记作 A B 。 如 x A x B ，则 A B 。 说明： 1。包含关系只适用于集合与集合之间。 2。若 A B且B A ，则A=B。 3。若 A B ，且B中包含不属于A的元素，则称A是B 的真子集，记作A B 。 4。集合的包含关系具有： ⑴自反性， A A 。 A B且B A A B 。 ⑵反对称性， ⑶传递性，A B且B C A C。
x P( A)且x P( B) x P( A) P( B)
P( A B) P( A) P( B)
x P( A) P( B) x P( A)且x P( B) x A且x B x A B x P( A B) P( A) P( B) P( A B) 故P( A B) P( A) P( B)
3。集合的差 由所有属于A但不属于B的元素组成的集合称为 集合A与B的差，记作 A－B 。 集合A与B的差A－B与集合B与A的差B－A是不同的 例如A={1,2,3,4}，B={2,4,6}， B-A A－B={1,3}， B－A={6} A-B 4。补集 由全集E中所有不属于A的元素组成的集合称为 集合A的补集，记作~A。 E 故有 A B A ~ B ~A A 若A B则 ~ B ~ A
A B C {1,2,4} {3,2,1,0,1,2,3} {0,3,6,9} {3,2,1,0,1,2,3,4,6,9}
~ A C ~ {1,2,4} {0,3,6,9} {0,3,6,9}
B C {3,2,1,0,1,2,3} {0,3,6,9} {0,3}
集合的并、交与集合之间有如下关系： 1。对于任意集合A、B A B A A B B
A B A
A B B
A
B
A B A B
2。如果 A B
A B B A B A
A
B
例4，证明 P( A B) P( A) P( B) 证明集合命题的第一种方法是通过在集合中任取 一个元素，利用集合的定义进行证明。 证明：x P( A B) x A B x A且x B
1.1 集合的概念与表示
一、集合的概念
一些确定的、可以区别于其它个体的对象的总 和称为集合。 集合中的个体对象称为集合的元素，常用a、b等 小写字母表示。 集合通常用A、B等大写字母表示。一些特定的 字母表示特定的集合，如 N、Z、Q、R、C。 元素与集合的关系称为属于关系。 元素a是集合A中的元素，记作 a A，元素a不是集 合A中的元素，记作 a A 。