2019年重点高中高一分班考试数学试卷含答案

重点高中高一分班考试数学试卷

本次考试不能使用计算器，没有近似计算要求的保留准确值.

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分） 1．下列计算正确的是（ ▲ ）

A ．4212

-=??

? ??-- B ．()53

2)()(a a a -=-+-

C ．3

3

6

)()(a a a -=-÷- D ．()

62

3

a a -=-

2．如图是某一几何体的三视图，其表面积为（ ▲ ）

A ．π24

B ．π21

C ．π15

D ．π12

3．自然数7、8、8、a 、b ，这组数据的中位数为7，且唯．一．的众数是8，那么，所有满足条件的a 、b 中，b a +的最大值是（ ▲ ）

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

4．在抛物线2

x y =上任取一点A （非坐标原点O ），连结OA ，在OA 上取点B ，使OB=3

1

OA ， 则顶点在原点且过点B 的抛物线的解析式为（ ▲ ） A ．231x y =

B ．29x y =

C ．29

1

x y = D ．23x y = 5．函数12+=x y 与反比例函数x k y =的图象有一个交点为M （m ，3），则不等式12-

k

x 的解为（ ▲ ） A ．3

x 或023<<-x D ．1>x 或2

3

-

的条数最多为（ ▲ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

7．水果店进1吨水果，进价每千克6元，售价每千克11元，销售过程中有2%的水果被损 坏而不能出售．售出进货总量的一半后，为尽快售完，余下的水果准备打折出售．为使 总利润不低于3300元，在余下的水果的销售中，营业员最多能打几折优惠顾客？答：（ ▲ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 8．设a 、b 、c 都是实数，有如下三个命题：

主视图 左视图

俯视图

（第2题）

①若00，则c>1；②若c>1，且0

+ab+c>O ；

③若a 2

+ab+c>0，且c>1，则O

A ．只有①

B ．只有②

C ．①和②

D ．②和③ 9．如图，Rt △ABC 中，∠=∠Rt C ，BC =26，⊙O 与AB 相切

于D ，与AC 相交于E ，ED ∥BC ，且2

2

tan =∠ADE ，BD =23，

则⊙O 的半径是（ ▲ ）

A ．23

B ．32

C ．24

D ．62

10．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“※”，满足x ※y =57

)1()1(249

462

222-+++-++y x y xy x ，且 x ※y ※z =（x ※y ）※z ．在下列各结论中：①2※1=5；②x ※3=6；③这一运算满

足交换律，即x ※y =y ※x ；④2014※2013※2012※……※4※3※2=19．其中正确的个 数是（ ▲ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ． 4 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．等式

()

11

12

=--x x 成立的条件是 ▲ ．

13．国际上通常用恩格尔系数（记作n ）来衡量一个国家和地区人民的生活水平的状况，它 的计算公式：x

n y

=（x ：家庭食品支出总额；y

：家庭消费支出总额）．各种家庭类型的 n 如下表： 和2010年完全相同的情况下多支出2000元，并且y=2x+3600(单位：元)，则该家庭2013 年属于 ▲ （填家庭类型）．

A

B

C

D

E

O

． （第9题）

14．已知不等式63-a x a 成立，则a 的取值范围为 ▲ ． 15．如图，等腰△ABC 的底边在y 轴正半轴上，顶点C 在第一象限，延长AC 交双曲线x

k

y = 于D ，且CD=AC ，延长CB 交x 轴于E ．若△ABE 的面积为5，则k = ▲ ．

16．已知，点I 是△ABC 的内心， E 、F 分别在AB 、AC 上，且EF 过点I ，AE=AF ，BE=4，

CF=3，则EF 的长为 ▲ ．

三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，满分80分）

17．你先化简224(2)24

a a

a a a -+÷+-，再从-2 ， 2

中选择一个合适的数代入求值.

18．大于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如5323

+=，

119733++=， ,1917151343+++=，

（1）求3

7分裂的结果；（2）若3

m 分裂后，其中有一个奇数为2015，求m 的值．

19．如图，□ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，AE 垂直平分BC ，分别交BD 、BC 于

点F 、E ，已知3

sin 5

BAE ∠=，AB =10． 求AO 和AF 的长．

．

I A

C B F

E (第16题)

20．某公司现有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A ，B 两种型号，乙品牌有C,D,E

三种型号.朝阳中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机. （1）利用树状图或列表法写出所有的选购方案；

（2）若各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C 型号打印机被选购的概率是多少？ （3）各种型号的打印机的价格如下表：

甲品牌

乙品牌 型号 A B C D E 价格

2000元

1700元

1300元

1200元

1000元

朝阳中学购买了两种品牌的打印机共30台，其中乙品牌只选购了E 型号，共用去资金 5万元，问E 型号打印机共购买了多少台？

21．如果一个矩形纸片用平行于边的线段分成n 个小矩形纸片（这些小矩形可以互相全等，

也可以不全等），若所有分成的小矩形纸片与原矩形相似，则称这样的矩形为n 阶自相似矩形．如一组邻边长分别为1，2的矩形Q 分割成两个全等的矩形，与原矩形是相似的，因此矩形Q 是2阶自相似矩形．

请找出所有较短边长为1的3阶自相似矩形，画出分割示意图，写出较长边的长（结 果保留根号）．

22．若三角形的一边和该边上的高相等的三角形称为“优美三角形”．

（1）如图①，在3×3的网格中找一个格点C ，使得△ABC 是优美三角形．符合条件的C 点共几个？ （2）已知抛物线2y

ax 经过A （1 ，1)，P 是y 轴正半轴上一动点（除原点），射线AP

与抛物线交另一点B ．

问△AOP 和△POB 是否一定是“优美三角形”，若是，说明理由；若不是，求出当P 点在什么位置时，能使其成为“优美三角形”．

B

A

A

P

y

B

23．我们把自变量为x 的函数记作)(x f ，)(m f 表示自变量m x =时，函数)(x f 的值． 已知22463)(2

2

+++-=a a ax x x f ，其中a 为实数．

（1）若在50≤≤m 的范围内，存在m ，使)3()54(2

m f m f -=-，求a 的取值范围； （2）当12≤≤-x 时，)(x f 的最小值为4，求所有满足条件的a 的值．

24．如图①，在平面直角坐标系中，点M 在x 轴正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴 于C ，D 两点，且C 为 的中点，连结CE 、CB ，已知A （2-，0），AE =8． （1）求点C 的坐标和⊙M 的半径；

（2）过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P ，动点F 在⊙M 上运动，设OF =y ，PF =x 求y 与x 的函数解析式；

（3）如图②过E 作弦EF ，交CB 于H ，若CE =CH ，求EF 的长．

AE

数学试题参考答案及评分

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

说明：第14题第一空2分，第2空3分

三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，满分80分） 17．（本题8分） 解：原式=[

2(2)(2)2

(2)a a

a a

a ]×24

4a a

-------------------------1分

=

42

a

×

(2)(2)

4a

a

a

----------------------------------------3分

=

2

a a

--------------------------------------------------------6分

取2a 代入：

原式122

-------------------------------------------8分

18．（本题8分）

解：（1）设132321273

++++++=n n n -------------------------------1分

即3434914=+n ，---------------------------------------------------2分

解得21=n

所以55454373

+++= ---------------------------------------------4分 （2）3m 分裂后的首项为1)1(+-m m -----------------------------------5分 当44=m 时，18931)1(=+-m m ，当45=m 时，19811)1(=+-m m ------6分

当46=m 时，20711)1(=+-m m ---------------------------------------7分 45=∴m --------------------------------------------------------8分 19．（本题8分）解： AE 垂直平分BC ，∴AC=AB =10 -----------------1分 □ABCD ∴AO=2

1

AC=5---------------------------2分 3sin 5BAE ∠=

=AB

BE ∴BE =6，BC =AD =12 ∴AE =8------------4分 □ABCD ∴AD ∥BE ∴△AFD ∽△BEF --------------------------6分

∴

2==BE AD FE AF ∴AF=3

16

32=AE ------------------------------8分 20．（本题8分）

解：（1）所列树状图或列表如下：

结果为（A,C ）,（A,D ）,（A,E ）,（B,C ）,（B,D ）,(B,E)；-----------------------2分

（2）由（1）知C 型号被选购的概率为

3

1

；-------------------------------------4分 （3）设选购E 型号的打印机x 台（x 为正整数），则选购甲品牌(A 或B 型号)(30-x )台,由

题意得，当甲品牌选A 型号时：1000x +(30-x )×2000=50000，解得x =10；-------6分 当甲品牌选B 型号时：1000x +(30-x )×1700=50000，解得x =

7

10

(不合题意).-------7分 故E 型号的打印机共购买了10台.---------------------------------------------8分 21．（本题10分）解：设较长边的长为a

有以下四种情形：

（1） （2

较长边3=

a ----------2分 较长边2=a ---------2分

（3）

较长边26=

a ------------3分 较长边2

51+=a -----------3分

22．（本题12分）

（1）共8个；-------------------------------------------------------2分

C D E A

A,C A,D A,E B

B,C

B,D

B,E

1

1 x

x a -

21 2

1

1 x

21 2

1

1

x

x a -

y

y -1

（2）△POB 一定是“优美三角形”，△AO P 不一定是“优美三角形”---------------4分 ∵抛物线2y

ax 经过A(-1,1)，∴1a

即2y x

过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，D ，设OP=m,BD=n,由△DPB ∽△APM ，

得：

21

1

n n m

m 可得：(1)()0n m n ，------------------------------5分

因点B 一定在y 轴右侧，0>n ，所以01≠+n ------------------------------6分 ∴0m n 即m n ----------------------------------------------------7分 ∴△POB 一定是“优美三角形”．-------------------------------------------8分 对于△AO P ，

当AO 边上的高等于AO 时，P （0,2）；---------------------9分 当PO 边上的高等于PO 时，P （0,1）；---------------------10分 当AP 边上的高等于AP 时，过O 、A 分别作ON ⊥AP ，AM ⊥OP ，

则OP ×AM=ON ×AP ，即2

AP PO ， 另一方面2

2222(1)1AP

PM AM PO

22(1)1PO PO ---------------------------------11分

解得：PO=1或2---------------------------------------12分

综上所述，当△AO P 是“优美三角形”时， P 点的坐标为P （0,1）或P （0,2）． 23．（本题12分）

解：224632

2

+++-=a a ax x y

2

2)(3223632

2

222+++-=++++-=a a a x a a a ax x

抛物线的对称轴是直线a x =------------------------------1分 （1）由题意知

23542m m a -+-=，即1)2(212+--=m a ----------------3分

50≤≤m ，∴求a 的取值范围是12

7

≤≤-

a ---------------5分 （2）当12<<-a 时，y 在a x =处取到最小值

4222

=++a a ------------------------------------------6分

A

O

P y B

M N

D

解得：13-=a 或13--=a （不合，舍去）---------------------------7分

当2-≤a 时，则y 在2-=x 处取到最小值

422412122

=++++a a a ----------------------------------------------------8分 整理得：05722

=++a a 解得：2

5

-

=a 或1-=a （不合，舍去）------------------------------------------9分 当1≥a 时，则y 在1=x 处取到最小值

4224632=+++-a a a ----------------------------------------------------------10分

整理得：01442

=+-a a

解得：2

1

=a （不合，舍去）------------------------------------------------------11分 综上所述13-=a 或2

5

-=a ---------------------------------------------------12分

24．（本题14分）

解：(1)连结CM 交AE 于N ，

C 为弧AE 的中点，∴MN ⊥AE ，AN=4

AM=CN ，∠AMN=∠CMO ，∴△AMN ≌△CMO ∴OC=4，即C （0，4）-----------------------------2分 设AM=CM=x

2

2

2

CM OC OM =+，∴2

2

2

4)2(x x =+- 解得：5=x -------------------------------------------5分

（2）连MD ， PD 切⊙M 于D ，可得PM=3

25

--------6分

动点F 在⊙M 上运动，连结OF ，PF

53=MP MF ，53

=MF OM ∴MF OM MP MF =

，∠OMF=∠FMP ∴△OMF ∽△FMP

∴5

3=x y ，即x y 53

=----------------------------------9分

(3) 连结EB ，BF ，过B 作BG ⊥EF ，

AB 为直径，∴∠AEB= 90，BE=6-----------------------10分 CE =CH ， ∴∠CEH=∠CHE

（图②）

弧AC=弧EC ，∴∠CEA=∠CBE ， ∠CHE=∠CBE+∠BEH ∴∠FEA=∠BEH=

45---------------------------------------------12分 ∴BF=52，EG=BG=23

∴FG=24，∴EF=27-----------------------------------------