第八届中国东南地区数学奥林匹克试题

第八届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

（2011年7月27日上午8: 00 —12: 00）宁波•北仑

2 b

一、已知min ax 3

xR TTV

1求b的取值范围

2对给定的b,求a.卢兴江供题

二、已知正整数a、b、c两两互质，且a2b3c3,b2a3c3,c2a3b3,求a、

b、c的值。杨晓鸣供题

三、求所有正整数n,使得集M 1,2,3, ,50的任意一个35元子集，至少存在两个

不同元素a、b,使得a b n或a b n.李胜宏供题

四、如图，过ABC外心O任作直线MN交AB于M、交AC于N。若E、F分别为BN、CM中点, 证明：A EOF

陶平生供题

M

N

F

E

第八届中国东南地区数学奥林匹克

第二天

（2011年7月28日上午8: 00 —12: 00）宁波•北仑

五、△ABC中，A% BB0、CC0是其三条角平分线，分别交BC、CA、AB于代、B。、C。。自A0作A0A//BB0,A0A2〃CC0,A、A2分别在AC、AB上,类似得到

B,、B2•设AA2 BC A3类似地得到B3、C3。证明：人、B3、C3三点共线。

陶平生供题

六、设R i 1,2,..., n为平面上n个顶点，M为此平面内线段AB上任一点，记AB 为平面上A、B两点之间的距离。

n n n

证明：R i M max RA, R i B .金蒙伟供题

i 1 i 1 i 1

七、设数列a n满足：a1a21,a n7a n 1a n 2n 3。

证明：n N , a n 2 a. 1皆为元全平方数。陶平生供题

八、把时钟盘面上的标号为1,2, ,2的12个点染上红、黄、蓝、绿四色，每色三个点，现在以这些点为顶点构作n个凸四边形，使得它们满足：

1每个凸四边形四个顶点颜色各不相同。

2对其中任意三个四边形，都存在某一种颜色，使得染有该颜色的三个点所标数字互不相同。

试求n最大值陶平生供题