结构力学力法 PPT课件

33 X3 3 p 0
一阶（反对称未知力）
（线性方程组降阶）
说明：
对称超静定结构如果选取对称基本结 构，只要未知力分为对称与反对称，则力 法方程也必然分组，该性质与荷载无关。
结构对称一般选取对称基本结构
§5-6 超静定结构自内力概念与计算
自内力 — 超静定结构在没有荷载作用情况下，由于
支座移动、温度改变、制造误差等因素产 生的内力。(这是超静定结构所特有的性质)
5 6
X1
1 3
X
2
19 48
qa
0
1 3
X1
2 9
X
2
1 6
qa
0
得：
X1
7 qa, 16
X2
3 qa 32
⑤画内力图：
M M1X1 M 2X2 M p
q X2
X1
基本结构
a a
X1=1
X2=1
1 qa2 2
2EI 1.5EI
M1图
a
M2图
Mp图
X1
7 16
qa
,
X
2
3 32
qa
qa2
qa2
③求力法方程系数
a a
X1=1 M1图
X2=1
a
M2图
11
M
2 1
EI
ds
1 1.5EI
(a
a
a)
1 2EI
(1 2
a
a
2 a) 3
5a 3 6EI
12
21
来自百度文库
M1M EI
2ds
1 1.5EI
(1 2
a
a
a)
a3 3EI
22
M
2 2
EI
ds
1 (1 a a 1.5EI 2
2 a) 3
2a 3 9EI
习题十
《结构力学》
5-3(b), 5-4, 5-5
上次课主要内容回顾
超静定结构
有多余约束的几何不变体。
二次超静定结构
q
C
B
A 原结构
q
C
B X2
X1
A 基本结构
（解除二个约束）
二次超静定 典型力法方程
q
C
B X2
X1
A
基本结构
δ11 X1=1 δ21
q
B
C
Δ1p
A
Δ2p
荷载产生的位移
X2=1
δ12
δ22
X1=1产生的位移
X2=1 产生的位移
11X1 12 X 2 1 p 0 21X1 22 X2 2P 0
力法应用举例
解图示二次超静定结构。
C qB
q
2EI
a
1.5EI
X2 X1
Aa
基本结构
解：①取基本结构
②力法方程:
11X1 12 X2 1 p 0 21X1 22 X2 2 p 0
(1 l 2
l
2l) 3
l3 3EI
BA l （由于A点转动在B点引起的位移）
l3 3EI
X1
l
a
解得： X1
3EI l2
(
a l
)
③梁中内力
M M1X1
A
3EI ( a )
l
l
B
M图
（基本结构是静定，支座A移动不产生内力）
另解： ①基本结构
A θ EI
l
②变形条件ΔA=
B a
A X1
由图乘法可知：
X1=1
13 31 0
23 32 0 (b)
M1
3 p 0
X3=1
（对称图形与反对称图形相乘）
M3
(a)
X2=1
M2
P
P
Mp
力法方程简化为：
11 X1 12 X2 1 p 0 21X1 22 X2 2 p 0 33 X3 0 X3 0
（只有对称未知力）
M1
23 32 0 (d)
X3=1
1 p 2 p 0
M3
M2 P
P Mp
(d)代入(a)
11X1 12 X2 0 21X1 22 X2 0 33 X3 3 p 0
X1=X2=0
(只有反对称未知力)
4. 力法的简化计算
对称结构在对称荷载作用下只有对称多余 未知力。 （弯矩、位移对称）
对称结构在反对称荷载作用下只有反对称 多余未知力。 (弯矩、位移反对称)
① 对称荷载
P
P
P
原结构
简化结构
②反对称荷载
P
P
P
P
原结构
P P
简化结构
③任意荷载
P
P/2
P/2
P/2
P/2
+
a)任意荷载 对称与反对称荷载 叠加 b)选取对称与反对称未知力 力法方程分组
P
X3
X1 X2 X1
基本结构
a
a X1=1
M1图
a
X2=1
1 qa2 2
2EI 1.5EI
M2图
Mp图
1P
M1M P EI
ds
1 1.5EI
(a
a
1 2
qa2
)
1 (1 1 qa2 a 3 a) 19qa4
2EI 3 2
4
48EI
2P
M2MP EI
ds
1 1.5EI
(1 2
a
a
1 2
qa2
)
qa4 6EI
④解力法方程：
P
P
P
对称 弯矩对称；
P
反对称 弯矩反对称；
任意荷载 弯矩不对称。 对称荷载
反对称荷载
2. 对称荷载作用
P
P
X3
P
P
X1 X2 X1
X1=1
基本结构
X2=1
M1 对称
M2 对称
P
P
Mp 对称
X3=1
M3 反对称
力法方程：
11X1 12 X2 13 X3 1 p 0 21X1 22 X2 23 X3 2 p 0 31X1 32 X2 33 X3 3 p 0
力法方程同(a), 其中：
13 31 0
(e)
23 32 0
(e)代入(a), 力法方程简化为：
11X1 12 X2 13 X3 1 p 0
2111XX112122XX22213 pX3 0 2 p二阶0（对称未(知a)力）
3121XX113222XX22332Xp 303 p 0
3. 反对称荷载作用
P
P X3
P
X1 X2 X1 P
基本结构
(c)
P P
Mp
力法方程同(a)，
11X1 12 X2 13 X3 1 p 0 21X1 22 X2 23 X3 2 p 0 31X1 32 X2 33 X3 3 p 0
其中：
X1=1
(a)
X2=1
13 31 0
1. 支座移动
θ
A
EI
已知图示梁A端转动角度
为θ，B端下沉a，求在梁
l
中引起的自内力。
A
B a
B
基本结构
X1
解：①变形条件（原结构B点竖向位移）
ΔB = - a
A θ EI
B a
（位移方向与X1相反）
l
②力法方程 11X1 BA a
θ A
θ
Δ
B
A
l
l
B
M1
X1=1
11
1 EI
M 12dx
1 EI
B
基本结构
③力法方程 11X1 AB
A
B
A X1=1
B
a
Δ
1
M1
11
1 EI
M 12dx
1 EI
(
1 2
l
1
2 3
)
l 3EI
AB
a l （由于B点位移在A点引起的转动）
l 3EI
X1
a l
解得：X1
3EI l
(
a l
)
梁中内力 M M 1X1
A
3EI ( a )
l
l
B
M图
2. 温度改变（略）
16
8
C
B
A qa2 M图
32
按内侧拉为正：
MC
a
7 qa 16
1 qa2 2
qa2 16
M
A
a
7 16
qa
a
(
3 qa 32
)
1 2
qa2
qa2 32
§5-5 对称性的利用
1. 对称结构及其特点
I2
• 结构对某轴
I1
I1
几何形状、支承对称
截面、材料性质对称（超静定必需）
对称轴 （对折线）
• 荷载