数字信号处理DSP第二章6 离散系统的系统函数、系统的频率响应

j H ( e )： 系统的频率响应
单位圆上的系统函数 单位抽样响应h(n)的Fourier变换
H (e j ) H ( z )
z e j
DTFT [h(n)]
2019/2/9
数字信号处理
1、因果稳定系统
1）因果： Rx z 2）稳定： 序列h(n)绝对可和，即 而h(n)的z变换的Roc：
n

n
h(n )
h(n ) z n

稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆， 即频率响应存在且连续
2019/2/9
1 z 3）因果稳定：Roc： H(z)须从单位圆到 的整个z域内收敛 即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内
数字信号处理
2）由于系统为因果稳定系统， 1 故收敛域： z 2
2019/2/9 数字信号处理
1/ 3
0
0.5 Re[ z ] 1 0.25
3) 对H(z)求z反变换即得单位抽样响应h(n)， 用部分分式法
1 1 1 1 z z z 3 3 H z 1 1 1 1 1 1 1 z 1 z z z 2 4 2 4
数字信号处理
2
H z A2 Res z z 1
4
1 z 1 7 3 z 1 1 4 3 z z 1 2 4 z
4
10 7 z z H ( z) 3 3 1 1 z z 2 4



H ( e j ) X ( e j )e j n d
1 其中： x ( n ) 2



X ( e j )e j n d
2019/2/9
1 z H z A1 A2 3 1 1 1 1 z z z z 2 z 4 2 4 1 z H z 1 10 3 A1 Res z 1 1 2 3 z z 1 z z 1 2 2 4 z
2019/2/9
数字信号处理
解：1）对差分方程两边取z变换：
3 1 1 2 1 1 Y ( z) z Y ( z) z Y ( z) X ( z) z X ( z) 4 8 3 系统函数： 1 1 1 1 1 z 1 z Y ( z) 3 3 H ( z) X ( z ) 1 3 z 1 1 z 2 1 1 1 1 1 z 1 z 4 8 2 4 1 1 1 零点：z , 0 极点：z , j Im[ z ] 3 2 4
则系统函数
H ( z) Y ( z) / X ( z)
2019/2/9
m 0 N
m b z m k a z k k 0
M
K
1 (1 c z m ) 1 (1 d z k ) k 1 m 1 N
M
数字信号处理
例：已知离散LSI系统的差分方程： 3 1 1 y ( n ) y ( n 1) y ( n 2) x ( n ) x ( n 1) 4 8 3 其中：x ( n )为输入，y ( n )为输出。 1）求系统函数，指出系统的零极点； 2）若该系统是因果稳定的，指出系统的收敛域； 3）求该因果稳定系统的单位抽样响应。
j

4
解：因果系统： z 2
2e
j
稳定系统： 0.4 z 1.5
2019/2/9 数字信号处理
2、系统函数与差分方程
常系数线性差分方程：
a
k 0 N
N
k
y (n k ) bm x (n m)
m 0 M
M
Байду номын сангаас取z变换
k m a z Y ( z ) b z k m X ( z) k 0 m 0
输出同频 0 正弦序列 j H ( e ) 加权 幅度受频率响应幅度 相位为输入相位与系统相位响应之和
2019/2/9
数字信号处理
3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应
y (n ) x(n ) * h(n )
Y (e j ) X (e j ) H (e j )
1 y (n) 2
例：一系统的极点有： 0.2e j / 4 , 0.2e j / 4 , 0.4, 2e j / 6 , 2e j / 6 , 1.5 问什么情况下，系统为因果系统， 什么情况下，系统为稳定系统
j Im[ z ]
2e
0.2e 4 0.4
j
j

6

1.5
1
Re[ z ]

6
0
0.2e
1 根据Roc : z ，查表2-1得 2
10 1 n 7 1 n h(n ) u n 3 2 3 4
2019/2/9 数字信号处理
3、系统的频率响应的意义
1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：
x(n) e jn n
y (n )
m


h(m)e j ( n m ) e j n
m


h(m)e j m
e j n H (e j )
2019/2/9
数字信号处理
2）LSI系统对正弦序列的稳态响应
x(n) A cos(0n )
y(n) A H (e j0 ) cos{0n arg[ H (e j0 )]}
六 、离散系统的系统函数、 系统的频率响应
LSI系统的系统函数H(z)： 单位抽样响应h(n)的z变换
H ( z ) ZT [h( n )]
n
h(n ) z
n
Y ( z) X ( z)
其中：y(n)=x(n)*h(n)
Y(z)=X(z)H(z)
2019/2/9
数字信号处理