工程弹塑性力学题库及答案

解：刚塑性模型不考虑弹性阶段应变，因此刚塑性应力应变曲线即为
曲
线，这不难由原式推得
而在强化阶段，
，因为这时
将 都移到等式左边，整理之即得答案。
其中
5.7 已知简单拉伸时的 变的比值
曲线由（5.1）式给出，考虑横向应变与轴向应
在弹性阶段，
为材料弹性时的泊松比，但进入塑性阶段后 值开
始增大最后趋向于 。试给出 解：按题设在简单拉伸时总有
第一章 弹塑性力学基础
1.1 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 解：静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力 状态中扣除静水压力后剩下的部分。
1.2 对照应力张量 与偏应力张量 ，试问：两者之间的关系？两者主方向之 间的关系？
解：两者主方向相同。
。
1.3 简述应力和应变 Lode 参数定义及物理意义：
并从零开始增加，求三杆内力随 的变化规律．
解：基本方程为
几何方程： 协调关系：
本构方程：
（1）弹性阶段（
）
利用（a）、（b）及（c）第一式，联立求解得
（a) （b）
即
可看出 结构弹性极限：令
有
（2）弹塑性阶段（
）
取
，结构成为静定，由平衡方程
解得
若取
，即
此时 即当
时，内力为上列
值，当
时，杆1和杆2 已
，再求应力偏张量
，
，
，
，
，
。
由此求得：
然后求得：
，
，解出
然后按大小次序排列得到
，
，
1.9 已知应力分量中
，求三个主应力
，以及每个
主应力所对应的方向余弦
。
解：特征方程为
记
，则其解为
，
，
。对应于 的方向余弦 ， ， 应满足下列关系
由（a）,(b)式，·11得
（a） （b） （c）
， ，由此求得
，代入（c）式，得
z
且 利用平衡方程
当
时， 为（e）式。
（3）塑性阶段 平衡方程和几何方程同上。
本构方程 与（2）弹塑性阶段同样步骤：可得
（e） （f） （g）
5.9 如图所示等截面直杆，截面积为 ，且 。在 处作用一个逐渐增加 的力 。该杆材料为理想弹塑性，拉伸和压缩时性能相同。按加载过程分析
结构所处不同状态，并求力 作用截面的位移 与 的关系。 解：基本方程为
进入塑性阶段，当
时，两杆为无线变形，结构已成为机构。 故，
此结构
。
第六章 屈服条件和加载条件
6.1 简述屈服面、屈服函数的概念： 解：根据不同的应力路径进行实验，可以分别从弹性阶段进入塑性阶段的各个界 限，这些界限即是屈服点。在应力空间将这些屈服应力点连接起来，就形成一个 区分弹性和塑性的分界面，成为屈服面。描述这个屈服面的数学表达式成为屈服 函数或屈服条件。
形式，试给出 的表达式。
（a）
由在
处连续，有
（a）、（b）两式相除，有
由（a）式，有
（2）取
形式时，
当
：
即
当
：应力相等，有
解出得，
（代入 值）
（b） （c） （d）
（代入 值） 5.6已知简单拉伸时的应力-应变曲线
如图5-1所示，并表示如下：
问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示？
图5-1
（a） 几何方程
（b）本构方程
（c）联立求出
显然，
， 段先屈服，取
，得
，当
时，
值如上述表达式。
（2）弹塑性阶段（a 段塑性，b 段弹性）平衡方程和几何方程仍为（a）、 （b）式。
本构方程： 且设 将本构方程代入几何方程：
即 两侧同乘面积 ，并利用平衡方程（a），得
解出
令
，则得
本阶段结束时，
由几何方程
，截面收缩率为
，其中
和 为试件的初始横截面面积和初始长度，试证当材料体积不变时有如下关 系：
证明：将 和 的表达式代入上式，则有
5.5 为了使幂强化应力-应变曲线在 -应变关系：
时能满足虎克定律，建议采用以下应力
(1)为保证 及 在
处连续，试确定 、 值。
(2)如将该曲线表示成
解：（1）由 在
处连续，有
解：的定义、物理意义：
；
1) 表征 Sij 的形式；2) 相等，应力莫尔圆相似，Sij 形式相同；3) 由可确定 S1：S2：S3。
1.4设某点应力张量 的分量值已知，求作用在过此点平面
力矢量
，并求该应力矢量的法向分量 。
解：该平面的法线方向的方向余弦为
上的应
而应力矢量的三个分量满足关系
而法向分量 满足关系
平衡方程
（a）Βιβλιοθήκη Baidu
（b）
本构方程 （1）弹性阶段
由前题知，
因 ，故
。
截面位移
几何方程
本阶段终止时，
（2）弹塑性阶段（
）
此时，
截面位移由 段变形控制：
且本阶段终止时，
（3）塑性阶段（
）
无限位移（
为不定值）。
（4）图线斜率比较：
段：
段：
5.10 如图所示三杆桁架，若
，杆件截面积均为 ，理想弹塑性材料。
加载时保持
式中：
是三个应力不变量，并有公式
代入已知量得
为了使方程变为 关系
形式，可令
代入，正好 项被抵消，并可得
代入数据得
，
，
1.7已知应力分量中
，求三个主应力
解：在
时容易求得三个应力不变量为
，
特征方程变为
。 ，
求出三个根，如记
，则三个主应力为
记
1.8已知应力分量
， 是材料的屈服极限，求 及主应力
。
解：先求平均应力
对，
，代入得
对，
，代入得
对，
，代入得
1.10当
时，证明
成立。
解： 由
，移项之得
证得
第五章 简单应力状态的弹塑性问题
5.1 简述 Bauschinger 效应： 解：拉伸塑性变形后使压缩屈服极限降低的现象
5.2 在拉杆中，如果 和 为试件的原始截面积和原长，而 和 为拉伸后的截
面积和长度。则截面收缩率为 时，有这样的关系： 证明： 体积不变，则有
，而应变
，试证明当体积不变
证毕！
5.3 对于线性弹塑性随动强化模型，若 （1）、已知给定应力路径为 （2）、已知给定应变路径为
，试求 ，求对应的应变值。 ，求对应的应力值。
（1）解：①、 ， ；②、
，
③、 ，
；④、
，
⑤、 ，
（2）解：①、 ， ；②、
，
③、 ，
；
④、
，
⑤、 ，
5.4 在拉伸试验中，伸长率为
的变化规律。
（a） 左边为体积变形，不论材料屈服与否，它要按弹性规律变化，即有
比较（a），（b）两式，得
（b）
将
表达式代入，即可得
。
5.8如图所示等截面直杆，截面积为 ，且 。在 处 作用一个逐渐增加的力 。该杆材料为线性强化弹塑性，拉伸和压缩时性能 相同。求左端反力 和力 的关系。
解：（1）弹性阶段 基本方程：平衡方程
最后结果为：
1.5利用上题结果求应力分量为
时，过平
面
处的应力矢量 ，及该矢量的法向分量 及切向分量 。
解：求出
后，可求出
及 ，再利用关系
最终的结果为
可求得 。 ，
1.6 已知应力分量为 三次多项式
，求
，其特征方程为 。如设法作变换，把该方程变为形式
，求 以及 与 的关系。 解：求主方向的应力特征方程为