高效的分布式最小连通支配集近似算法

2 预备知识
定义 1 单位圆图(Unit Disk Graph, UDG) 简单无向图 G=(V,E,d)为 UDG，其中，V 和 E 分别表示 顶 点 集 和 边 集 ； d 表 示 圆 的 半 径 ， 即 ∀v1,v2 ∈V ， 若 边 (v1, v2 ) ∈ E ，则 v1, v2 两顶点间的距离 | v1 − v2 |≤ d 。为便于表
化描述，定义以下符号：
(1)节点的状态函数 S：V->{0,1,2,3}，若节点 v 为初始状
态，则 S(v)=0；若节点 v 为支配状态，则 S(v)=1，即节点成
为支配点，记为 v′ ；若节点 v 为受支配状态，则 S(v)=2，即
节点成为被支配点，记为 vn ；若节点 v 为连通点状态，则
S(v)=3，即节点成为连通点，记为 vm 。
始执行。 Step3 若支配点仍处于初始状态 B( v′ )=0，则与邻居交
换是否为非支配点以及相邻支配点的信息，通过此操作，节 点 v′ 获知所有离它一步的非支配点所相邻的支配点信息，即 N1(v′) , {Num(v′′) | v′′ ∈ N2 (v′)} ，且令 B( v′ )=1。
IDc
的支配点的最多个数
max{Num(v′′)
|
v′′
∈
N 2
(v′)}
＝1，则不
存在连通点。
(2)若 1< max{Num(v′′) | v′′ ∈ N2 (v′)} <3，则选择 ID 最小值
的节点为连通点。
(3) 3≤ max{Num(v′′) | v′′ ∈ N2 (v′)} <6，则将所有满足条件
3
6
7
规则(3)：支配点2 选择4，5为连通点
5
规则(4)：节点1由 支配点变为非支配点
图 1 EDMCDS 算法中的 4 项规则
3.2 算法描述 EDMCDS 算法首先基于节点权值构造 MIS，然后 MIS 中
的每个节点按计算规则(1)~规则(3)独立搜索连通点，搜索过
程中节点只需获知 2 跳局部网络拓扑信息，最后在不影响极
Step9 算法结束。
3 高效的分布式最小连通支配集近似算法
3.1 符号说明及计算规则
本文提出了一种高效的分布式最小连通支配集近似算法
(Effective Distributed Minimum Connected Dominating Set
Algorithm, EDMCDS)。为了更好地对 EDMCDS 算法作形式
越大，权值越大；Level 相等，ID 越大，权值越大。
Step5 所有权值小于邻居节点(且处于初始状态)的节点
构成极大独立集 MIS。
Step6 根节点 vr′ 选择邻居节点中具有最多支配点邻居且
ID 最小者作为支配树的根。
Step7 从支配树的根开始，基于 MIS 生成一棵支配树。
Step8 支配树的非叶子节点构成 MCDS。
搜索到的连通点集。
在 EDMCDS 算法中，为使连通点总数尽可能小，节点
根据获得的 2 跳局部网络拓扑信息，优先选择邻居节点中能
使最多支配点连通的节点作为连通点。因此，连通点选择方
式定义为计算规则(1)~规则(3)，并且利用被支配点集合的覆
盖关系给出计算规则(4)，使极小连通支配集进一步减少：
(1)若支配点相邻的所有被支配点中，所相邻的具有不同
【Abstract】Based on Alzoubi and Wan’s algorithm, this paper proposes Effective Distributed Minimum Connected Dominating Set Algorithm (EDMCDS) by choosing connector node with two hop local network topology information. Analysis shows that the size of connected dominating set with EDMCDS is (5.8+ln4)opt+1.2, time complexity is O (∆|MIS|) and message complexity is O (4|E|) , which are all better than TFA algorithm and Alzoubi and Wan’s algorithm. 【Key words】Ad Hoc networks; distributed; maximal independent set; minimum connected dominating set
小连通支配集连通性的情况下，算法采用规则(4)中的优化条
件，进一步减少连通支配集，得到优化的极小连通支配集
(Optimal Minimal Connected Dominating Set, OMCDS)。
算法操作于单位圆图，形式化描述如下： Step1 在单位圆图 G=(V,E)中，基于节点权值构造 MIS， 得到由支配点组成的极大独立集 MIS = {v′ | v′ ∈V , S(v′) = 1} 及 被支配点集合 V − MIS = {v′′ | v′′ ∈V , S(v′′) = 2} 。 Step2 初 始 时 ， 对 于 ∀v′ ∈ MIS ， 令 IDc( v′ )=ID( v′ ), B( v′ )=0；对于 ∀v′′ ∈V − MIS ，令 IDc( v′′ )=-1，从支配点 vr′ 开
定义 3 极大独立集 在图 G=(V,E)中，设 U ⊆ V ，若对 ∀u, v ∈U , (u, v) ∉ E ， 即一个点集中任意 2 个节点不相邻，则称 U 为图 G=(V,E)的 独立集。若对 ∀u ∈V −U , U U{u} 不是一个独立集，则称 U 为图 G=(V,E)的极大独立集(Maximal Independent Set, MIS)。 在 Alzoubi and Wan’s 算法中，由节点在生成树中所处层 次和节点标识 ID 大小确定每个节点相应的权值，随后基于节 点权值构造极大独立集，利用已求得的 MIS 构造一棵支配树， 支配树中的非叶子节点包括所寻求的连通点，这样找到连通 点使得极大独立集中的节点互相连通，最后由极大独立集和 连通点组成极小连通支配集，形成 Ad Hoc 网络中的虚拟主 干网。 下面给出 Alzoubi and Wan’s 算法的一般性描述，包括基 于节点权值构造 MIS(Step1~Step5)及基于 MIS 构造支配树 (Step6~Step9)，算法操作于单位圆图。
基金项目：现代通信国家重点实验室基金资助项目(9140C110206070 C11)；杭州电子科技大学校科学研究基金资助项目(KYF071506005) 作者简介：张 旻(1977－)，男，讲师，主研方向：智能识别，信息 安全；张 颖，硕士研究生；陈 勤，教授 收稿日期：2008-01-18 E-mail：zhang.dian.jing@163.com
的节点选为连通点。
(4)在
N 1
(v′)
中当且仅当存在一个支配点，且
∀v′′ ∈ N1(v′)
，
—140—
满足 Num(v′′) > 1 ， v ' 变为非支配点。 4 项规则如图 1 所示。
4
0
3
1
1
2
规则(1)：支配点1的 邻居中不存在连通点
5
规则(2)：支配点 4选择1为连通点
1
2
1
5
3
2
4
4
Efficient Distributed Approximation Algorithm for Minimum Connected Dominating Set
ZHANG Min, ZHANG Ying, CHEN Qin (Institute of Intelligent and Software Technology, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou 310018)
—139—
Step1 初始时，为每一个节点分配唯一的标识 ID。
Step2 将图 G 转化成一棵以任意节点 vr′ 为根的生成树， 根节点层次 Level( vr′ )=0。
Step3 其他节点通过获知父节点的层次计算自身的层次
(Level)。
Step4 确定节点权值 w(v)的排序，计算规则如下：Level
国内外已提出了一些计算网络最小连通支配集的近似算 法，如文献[1-3]的算法普遍采用网络节点的邻居信息计算最 小连通支配集。Alzoubi 等人通过引入极大独立集概念，提出 一个新的分布式连通支配集近似算法[4]，其主要思想是先计 算出网络的极大独立集(其等同于分簇的簇头集合)，再利用 该极大独立集构造支配树，寻求连通点，使得簇头集合中的 簇头相互连通，连通点与簇头集合构成连通支配集。并证明 了连通支配集的大小为 8opt-2，其中，opt 表示网络中最小连 通支配集的大小。但如果算法在构造支配树时得到的是最少 叶子支配树，则会使大部分节点成为连通点，为此，文献[5] 对 Alzoubi and Wan’s 算法进行了改进，提出 TFA 算法。算法 在已求得的极大独立集基础上，构造一棵具有最少斯坦纳节 点的斯坦纳树(ST-MSN)，斯坦纳节点为所寻求的连通点，同 时证明算法生成的连通支配集大小为(K+2+lnK)opt，其中，K 表示网络中任意节点至多相邻的极大独立集中节点的个数。
(6)Nt：一个全局特定标识符，用来表示已连通的支配点
与连通点组件。
(7)Num( vn )：与被支配点 vn 相邻的具有不同 N 的支配点
个数。
(8)Update_N(Nt)：节点宣布更新 N(v)为全局特定标识
符 N。
(9)Declare_Connector( {vi′′′| i = 1, 2,L, r} ,Nt)：支配点宣布
述，以下将单位圆图 G=(V,E,d)简称为 G=(V,E)。 定义 2 极小连通支配集 在图 G=(V,E)中，设 C ⊆ V , ∀u ∈V ， u ∈ C 或 u 与 C 中
某一节点相邻，C 称为支配集，若由 C 导出的子图为连通图， 则称 C 为连通支配集。若 ∀u ∈ C , C −{u} 不是一个连通支配 集，则称 C 为图 G 的极小连通支配集(Minimal Connected Dominating Set, MCDS)。
1 概述
移动 Ad Hoc 网络不依赖固定基础设施，是军事通信中 一种重要的通信网络，也被用于救援和野外通信等领域。设 计有效的广播算法是 Ad Hoc 网络路由协议的重要内容，通 过“洪泛”进行广播容易引起广播风暴问题，为此通常设计 最小连通支配集近似算法来构造 Ad Hoc 网络的虚拟骨干网 络，进行消息的转发，实践表明该方法有效缓解了广播风暴 问题。
第 34 卷 第 23 期 Vol.34 No.23
计算机工程 Computer Engineering
2008 年 12 百度文库 December 2008
·网络与通信·
文章编号：1000—3428(2008)23—0139—03 文献标识码：A
中图分类号：TP393.07
高效的分布式最小连通支配集近似算法
(2)支配点的搜索连通点函数 B： v′ －>{0,1,2}，若支配
点 v ' 为初始状态，令 B( v′ )=0；若支配点 v′ 已获知其 2 跳以
内的网络拓扑信息，令 B( v′ )=1；若支配点 v′ 完成搜索连通
点操作，令 B( v′ )=2。
(3)N1 (v)：节点 v 的 1 跳邻居节点集。 (4)N2 (v)：节点 v 的 2 跳以内邻居节点集合。 (5)N(v)：节点 v 所属支配点与连通点组件的标识。
张 旻，张 颖，陈 勤
(杭州电子科技大学智能与软件技术研究所，杭州 310018)
摘 要：在 Alzoubi and Wan’s 算法的基础上，利用 2 跳局部网络拓扑信息选择连通点，提出一个高效的分布式最小连通支配集算法 EDMCDS。理论分析表明，EDMCDS 算法生成的连通支配集大小为(5.8+ln4)opt+1.2，时间复杂度为 O (∆|MIS|) ，信息复杂度为 O (4|E|) 。与 TFA 和 Alzoubi and Wan’s 算法相比，该算法生成的连通支配集更小，时间复杂度和信息复杂度也有所降低。 关键词：Ad Hoc 网络；分布式；极大独立集；最小连通支配集