6-3对偶规划的基本性质

（3）原问题有可行解而对偶问题无可行解，则原问题有无界解； 对偶问题有可行解而原问题无可行解，则对偶问题有无界解。
§3
对偶规划的基本性质
ˆ, Y ˆ ， 3.最优性:若原问题和对偶问题的可行解分别为 X ˆ和Y ˆ 分别为原问题和对偶问题的最 ˆ bT Y ˆ ，则 X 且 cX 优解；
4.强对偶性:若原问题和对偶问题都有可行解，则两者 都有最优解，且两者最优值相等。
max z 2 x1 2 x2 x3 x4 s.t. x1 2 x2 3x3 4 x4 20 4x1 3x2 2 x3 x4 20 x1 , x2 , x3 , x4 0 max z 2 x1 2 x2 x3 x4 s.t. x1 2 x2 3x3 4 x4 20 4x1 3x2 2 x3 x4 20 x1 , x2 , x3 , x4 0
已知线性规划问题
max z 2 x1 2 x2 x3 x4 s.t. x1 2 x2 3x3 4 x4 20 4x1 3x2 2 x3 x4 20 x1 , x2 , x3 , x4 0
其对偶问题的最优解为 y1=1/10 , y2=3/5 ,目标函数最优值为14。 试用互补松弛定理求解原问题的最优解。
带入
各约束不等式
1、(2)和(4)式等号成立 2、(1)和(3)式等式不成立， 即对应的松弛变量不为0。 由互补松弛定理有x1 = x3 =0
2y1+3y2 ≥ 2
3y1+ 2y2 ≥ 1 4y1+ y2 ≥ 1 y1 , y2 ≥ 0
(2)
(3) (4)
§3
对偶规划的基本性质
由于 y1, y2 > 0不为0 且由互补松弛定理有x1 = x3 =0 从而原问题的两个约束不等式应该取“=”
§3
对偶规划的基本性质
min f 20 y1 20 y2
首先写出其对偶问题：
max z 2 x1 2 x2 x3 x4 s.t. x1 2 x2 3x3 4 x4 20 4x1 3x2 2 x3 x4 20 x1 , x2 , x3 , x4 0
2 x2 4 x4 20 3x2 x4 20
解得， x2 6, x4 2 可知 x1 0, x2 6, x3 0, x4 2 满足原问题约束条件，从而 其为原问题的最优解，对应的目标函数最大值为14
将 x1 = x3 =0 带入此时原问题的约束条件
§3
对偶规划的基本性质
x1 = x3 =0
max z 2 x1 2 x2 x3 x4 s.t. x1 2 x2 3x3 4 x4 20 4x1 3x2 2 x3 x4 20 x1 , x2 , x3 , x4 0
§3
对偶规划的基本性质
5.互补松弛性:线性规划取最优解时，若对应某一约束
条件的对偶变量≠0，该约束严格取=；若约束条件取
严格不等式，其对应的对偶变量一定=0，即
yi* 0
* a x ij j bi j 1 n
* a x ij j bi j 1
n
yi* 容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法种特殊情况
3
4
§3
对偶规划的基本性质
1．对称性：对偶问题的对偶是原问题；
ˆ, Y ˆ, 2. 弱对偶性: 对于原问题和对偶问题的可行解 X ˆ bT Y ˆ ； 都有 cX
§3
对偶规划的基本性质
根据弱对偶性： （1）原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的 下界；对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的 上界； （2）充分非必要条件 原问题有可行解且具有无界解，对偶问题无可行解； 对偶问题有可行解且具有无界解，原问题无可行解；
s.t.
y1 4 y2 2 2y1 3 y2 2 3y1 2 y2 1 4y1 y2 1 y1 , y2 0
(1) (2) (3) (4)
§3
对偶规划的基本性质
1 3 将 y1 10 , y2 5
min f = 20y1 + 20y2 s.t. y1+ 4y2 ≥ 2 (1)