《运筹学》第二章 对偶问题.
运筹学课件 第2章：线性规划的对偶理论
min w 16y1 36y2 65y3
90 y1 3 y 2 y1 2 y 2 5 y 3 70 y , y , y 0 1 2 3
原问题 A b C 约束系数矩阵
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 Max z=CX Min w=Y’b 目标函数 AX≤b A’Y≥C’ 约束条件 X≥0 Y≥0 决策变量
若原问题为求极小形式的对称形式线性规划问题， 对偶问题应该具有什么形式？
Min w Y 'b A'Y C Y 0
max w Y 'b A'Y C Y 0
min z CX
Max z CX
AX b X 0
AX b X 0
min w 5 y1 4 y2 6 y3 4 y1 3 y2 2 y3 2 y1 2 y2 3 y3 3 3 y1 4 y3 5 2 y 7 y y 1 2 3 1 y1 0, y2 0, y3无约束
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
目标函数中的价格系数向量
目标函数 约束条件
变量
Max z=CX m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束
约束条件的右端项向量 目标函数 Min w=Y’b m个 ≥0 变量 ≤0 无约束 n个 ≥ 约束条件 ≤ =
【例2-3】写出下列线性规划问题的对偶问题
min 2x1 3x2 5x3 x4
1.初始表中单位阵在迭代后单纯形表中对应的位臵就是B-1 2.对于原问题的最优解，各松弛变量检验数的相反数恰好 是其对偶问题的一个可行解，且两者具有相同的目标函数 值。根据下面介绍的对偶问题的基本性质还将看到，若原 问题取得最优解，则对偶问题的解也为最优解。
运筹学2对偶问题
运筹学2对偶问题运筹学教程运筹学Operations Research Chapter 2 对偶问题Dual Problem1. 线性规划的对偶模型Dual Model of LP2.对偶性质对偶性质3.对偶单纯形法对偶单纯形法4.灵敏度分析灵敏度分析Dual property Dual Simplex Method Sensitivity Analysis 运筹学教程§2.1线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型Dual model of LPCh2 Dual Problem2022年11月26日星期五Page 2 of 19在线性规划问题中，存在一个有趣的问题，即每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题，称它为对偶线性规划问题。
【例2.1】某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、例资源限量及价值系数如下表：产品资源Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 每件产品利润9 5 8 7 100 8 4 3 6 80 6 7 2 4 70 500 450 300 550 A B C 资源限量建立总收益最大的数学模型。
运筹学教程§2.1线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型Dualmodel of LPCh2 Dual Problem2022年11月26日星期五Page 3 of 19 设x1,x2,x3分别为产品A,B,C的产量，则线性规划数学模解型为：m Z = 100x + 80x + 70x ax1 2 39x1 + 8x2 + 6x3 ≤ 500 5x + 4x + 7x ≤ 450 2 3 1 8x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 300 7x + 6x + 4x ≤ 550 2 3 1 x1, x2, x3 ≥ 0 现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。
假如企业自己不生产产品，而将现有的资源转让或出租给其它企业，那么资源的转让价格是多少才合理？价格太高对方不愿意接受，价格太低本单位收益又太少。
运筹学课件第二章对偶问题
第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析一、学习目的与要求 1、掌握对偶理论及其性质 2、掌握对偶单纯形法3、熟悉灵敏度分析的概念和内容4、掌握限制常数与价值系数、约束条件系数的变化对原最优解的影响5、掌握增加新变量和增加新的约束条件对原最优解的影响，并求出相应因素的灵敏度范围6、了解参数线性规划的解法 二、课时 6学时第一节 线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出定义：一个线性规划问题常伴随着与之配对的、两者有密切联系的另一个线性规划问题，我们将其中一个称为原问题，另一个就称为对偶问题，在求出一个问题的解时，也同时给出了另一问题的解。
应用：在某些情况下，解对偶问题比解原问题更加容易；对偶变量有重要的经济解释(影子价格)；作为灵敏度分析的工具；对偶单纯形法(从一个非可行基出发，得到线性规划问题的最优解)；避免使用人工变量(人工变量带来很多麻烦，两阶段法则增加一倍的计算量)。
例：某家具厂木器车间生产木门与木窗；两种产品。
加工木门收入为56元/扇，加工木窗收入为30元/扇。
生产一扇木门需要木工4小时，油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时，油漆工1小时；该车间每日可用木工总共时为120小时，油漆工总工时为50小时。
问：(1)该车间应如何安排生产才能使每日收入最大？(2)假若有一个个体经营者，手中有一批木器家具生产订单。
他想利用该木器车间的木工与油漆工来加工完成他的订单。
他就要考虑付给该车间每个工时的价格。
他可以构造一个数学模型来研究如何定价才能既使木器车间觉得有利可图而愿意为他加工这批订单、又使自己所付的工时费用最少。
解(1)：设该车间每日安排生产木门x1扇，木窗x2扇，则数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=-0502120343056max 21212121x x x x x x x zX*=(15,20)’ Z*=1440元解(2)：设y 1为付给木工每个工时的价格，y 2为付给油工每个工时的价格⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=-0303562450120min 21212121y y y y y y y wY*=(2,24)’ W*=1440元将上述问题1与问题2称为一对对偶问题，两者之间存在着紧密的联系与区别：它们都使用了木器生产车间相同的数据，只是数据在模型中所处的位置不同，反映所要表达的含义也不同。
运筹学--第二章 线性规划的对偶问题
习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。
分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。
（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80x j≥0 （j＝1,2,3）４７４８（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。
运筹学第二章对偶问题
DUAL PRICES
1.500000 0.125000 0.000000
影子价格 （对 偶问题的解）
迭代（旋转）次数 NO. ITERATIONS= 2
用软件分析
目标不变下要素的变化范围 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
目标系数的变化范围
VARIABLE
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy7
i
M y5 2 1 4 0 1 1 0 0
M y7 3 2
0 [ 4] 0
0 1 1
3/4
83M 164M 124M M 0
M0
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
i
M y5 2 1
4 0 1 1 0 0
M0
3 M－3
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
i
M y5 2
1 [ 44 ] 0 1 1
0 0 1/2
12 y3 3/4 1/2 0 1
0 0 1/4 1/4 －
2-M 16-4M 0
M0
3 M－3
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
两边乘以“1”
5x1 3x2 + x3 200 5x1 3x2 + x3 200
Max z = 3x1 +4x2 +6x3 St. 2x1 +3x2 +6x3 440 6x1 +4x2 + x3 100 对偶 5x1 3x2 + x3 200 5x1 +3x2 x3 200 x1 ，x2 ，x3 0
运筹学课件第二章线性规划的对偶理论及其应用
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
《运筹学》胡运权第4版线性规划的对偶理论及灵敏度分析省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
13
2
y3
2 3
题
y1符号不限, y 2 0, y3 0
非 对 偶 形 式 旳 原对 偶 问 题
例2-4 写出下列问题旳对偶问题
max z c1x1 c2 x2 c3x3
a11x a12 x a13x3 b1
s.t.
a21x1 a31x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
出让自己旳资源？
问 题 旳 导 出
例2-1
条件：出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生 产活动时获取旳获利。
y1,y2,y3分别代表单位时间（h）设备A、设备B和调试工 序旳出让代价。 y1,y2,y3旳取值应满足：
6y 2
y 3
2
5y 1
2y 2
y 3
1
美佳企业用6h设备B和1h调试可 生产一件家电I,获利2元
y1, y2 , y3 0
LP1和LP2两个线性规划问题，一般称LP1为原问题， LP2为前者旳对偶问题。
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题
s.t.
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn xn bm
规 划 问
minW b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym (, )c1
a12y1
a22 y2
am2
ym
(,
)c2
题 旳 对 偶 问
a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn
题
y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m
运筹学第二章第6讲
例题4：写出以下模型的对偶问题
max z = 3 x1 − 2 x2 − 5 x3 + 7 x4 + 8 x5 x2 − x3 + 3 x4 − 4 x5 = −6 2 x1 + 3 x2 − 3 x3 − x4 ≥ 2 − x1 + 2 x3 − 2 x4 ≤ −5 s.t. − 2 ≤ x1 ≤ 10 5 ≤ ≤ 25 x2 , ≥ 0, 为自由变量 x5 x3 x4
OR1
对偶问题（或原问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 MinW
约束条件数： 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 个约束条件类型为“ ” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ ” 第i个约束条件类型为“≤” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ 第i个约束条件类型为“=” 个约束条件类型为 对偶变量数： 个 对偶变量数：m个 第i个变量 个变量≥0 个变量 个变量≤0 第i个变量 个变量 第i个变量是自由变量 个变量是自由变量
OR1
15
2 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标 弱对偶性： 函数值不大于其对偶问题任意可行解的目标函数 值。即： C X≤ Yb
证明：设原问题为maxZ=CX, AX ≤b ，X ≥0. ≥0. 证明： 原问题为maxZ=CX,
为原问题的可行解， ≤b， X 为原问题的可行解，有AX ≤b，
二.对偶线性规划的定义 对偶线性规划的定义
max Z = CX ( LP ) AX ≤ b S .T . X ≥ 0
称线性规划(DLP)为线性规划 为线性规划(LP)的对偶线性规划 称线性规划 为线性规划 的对偶线性规划
minω = yb ( DLP ) yA ≥ C S .T . y ≥ 0
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
运筹学_第2章_对偶理论习题
第二章线性规划的对偶理论2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题max z=2x1+2x2－4x3x1 + 3x2 + 3x3 ≤304x1 + 2x2 + 4x3≤80x1、x2，x3≥0解：其对偶问题为min w=30y1+ 80y2y1+ 4y2≥23y1 + 2y2 ≥23y1 + 4y2≥－4y1、y2≥02.2 写出下列线性规划问题的对偶问题min z=2x1+8x2－4x3x1 + 3x2－3x3 ≥30－x1 + 5x2 + 4x3 = 804x1 + 2x2－4x3≤50x1≤0、x2≥0，x3无限制解：其对偶问题为max w=30y1+80 y2+50 y3y1－y2 + 4 y3≥23y1+5y2 + 2y3≤8－3y1 + 4y2－4y3 =－4y1≥0，y2无限制，y3≤02.3已知线性规划问题max z=x1+2x2+3x3+4x4x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤202x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20x1、x2，x3，x4≥0其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。
试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。
解：其对偶问题为min w=20y1+ 20y2y1 + 2y2≥1 （1）2y1 + y2 ≥2 （2）2y1 +3y2≥3 （3）3y1 +2y2≥4 （4）y1、y2≥0将y1*=6/5，y2*=1/5代入上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。
又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。
故原问题的最优解为X*=（0，0，4，4）T2.4用对偶单纯形法求解下列线性规划min z=4x1+2x2+6x32x1 +4x2 +8x3 ≥244x1 + x2 + 4x3≥8x1、x2，x3≥0解将问题改写成如下形式max（－z）=－4x1－2x2－6x3－2x1－4x2 －8x3 + x4=－24－4x1－x2－4x3+x5 =－8x1、x2，x3，x4，x5≥0显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，非基变量在目标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。
运筹学第2章 对偶理论01-对偶问题及影子价格、对偶单纯形法
第2章对偶理论及灵敏度分析主要内容对偶理论⏹线性规划对偶问题⏹对偶问题的基本性质⏹影子价格⏹对偶单纯形法灵敏度分析⏹灵敏度问题及其图解法⏹灵敏度分析⏹参数线性规划线性规划的对偶问题⏹对偶问题的提出⏹原问题与对偶问题的数学模型⏹原问题与对偶问题的对应关系实例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：设备A设备B 调试工序利润（元）612521115时24时5时产品Ⅰ产品ⅡD一、对偶问题的提出如何安排生产，使获利最多？厂家设Ⅰ产量–––––Ⅱ产量–––––1x 2x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=052426155 2max 212121221x x x x x x x s.t.x x z ,设设备A ——元／时设备B ––––元／时调试工序––––元／时1y 2y 3y 收购付出的代价最小，且对方能接受。
出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
设备A 设备B 调试工序利润（元）0612521115时24时5时ⅠⅡD ⏹厂家能接受的条件：⏹收购方的意愿：32152415min yy y w ++=单位产品Ⅰ出租收入不低于2元单位产品Ⅱ出租收入不低于1元出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
1252632132≥++≥+y y y y y52426155 2212121221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=x x x x x x x s.t.x x z ,max ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥+++=0y 125265241532132132321y y y y y y y t s y y y w ,,.min 对偶问题原问题收购厂家一对对偶问题⎩⎨⎧≥≥=⇒⎩⎨⎧≥≤=00bY C YA s.t.Yb w X AX t s CX z min ..max ),(21c c C =⎪⎪⎫ ⎛=1x x X )(ij a A =()321,y ,y y Y =⎪⎪⎪⎫ ⎛=321b b b b 3个约束2个变量2个约束3个变量原问题对偶问题其它形式的对偶问题?特点：1.原问题的约束个数（不包含非负约束）等于对偶问题变量的个数；2.原问题的价值系数对应于对偶问题右端项；3.原问题右端项对应于对偶问题的价值系数；4.原问题约束矩阵转置就是对偶问题约束矩阵；5.原问题为求最大，对偶问题是求最小问题；6.原问题不等约束符号为“≤”，对偶问题不等式约束符号为“≥”;二、原问题与对偶问题的数学模型1．对称形式的对偶当原问题对偶问题只含有不等式约束时，称为对称形式的对偶。
《运筹学》胡运权清华版-2-01对偶问题
应用场景限制
对偶问题在某些应用场景中可能存在限制， 需要探索更广泛的应用领域和场景。
对偶问题的未来发展方向
交叉学科融合
对偶问题将与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，形成新的 研究领域和方向。
算法优化与并行计算
针对大规模对偶问题的求解，将发展更高效的算法和并行计算技 术，提高求解效率。
应用领域拓展
02
对偶问题在优化、机器学习、大数据等领域的应用将进一步深
化，推动相关领域的发展。
算法创新
03
针对对偶问题的求解算法将不断创新，提高求解效率，满足大
规模复杂问题的求解需求。
对偶问题的研究难点与挑战
理论证明
对偶理论中的一些基本定理和性质仍需进一 步证明和完善，以增强其数学严谨性。
求解难度
求解动态规划对偶问题的方法包括状态转移方程、最优子结构、备忘录法等。这些方法可以帮助我们找 到最优解，并避免重复计算。
在求解动态规划对偶问题时，需要注意对偶问题的最优解并不一定对应原问题的最优解，因此需要对解 进行验证和调整。
博弈论对偶问题的求解方法
01
博弈论是研究多个决策者之间 决策问题的学科，而博弈论对 偶问题则是将原问题转化为求 最大值的问题。
题
非线性规划对偶问题是将原非线 性规划问题的目标函数和约束条 件转换为对偶形式后得到的新问 题。
对偶问题的重要性
理论意义
对偶问题在运筹学理论中具有重要的 地位，它揭示了原问题与对偶问题之 间的内在联系，有助于深入理解运筹 学的基本原理。
应用价值
在实际应用中，对偶问题可以用于求 解原问题的近似解或启发式解，提高 求解效率，尤其在处理大规模优化问 题时具有显著的优势。
《运筹学》第二章 对偶问题
3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
20
一组互为对偶的线性规划问题的解之间只有 下列三种情况:
(1)两个规划问题都有可行解(此时,两个规划问题都有最优 解,且最优值相等);
(2)两个规划问题都不可行; (3) 一个规划问题不可行,另一个规划问题有可行解,且具有
无界解。
21
（4）互补松弛性： 在线性规划问题的最优解中，
则 aij xj * = bi ；
bi , 则 y i* = 0 (4)’ 互补松弛性：
在线性规划问题的最优解中， 则 aij yi * = cj ；
>cj , 则 xj* = 0
n
若 y i * >0,
j=1 n
若 a ij xj * <
j=1
m
若 x j * >0,
i=1 m
若 a ij yi*
i=1 22
m
= 证b：i y∵i*
y1 3 y1
2 y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2 y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
对偶问题的对 偶还是原问题
14
• 练习 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 4x1 3x2 2x3
4x1
运筹学第二章
m
m
n
m
n
i
c x a x y b y
j 1 j j i 1 j 1 ij j i i 1 i
m
m
i
2.最优性 是原问题的可行解, 是其对偶问题的可行解，
ˆ bT Y ) ˆ (CX
则 是原问题的最优解
是对偶问题的最优解
证明：CX * bT Y * ˆ ˆ CX CX * bT Y * bT Y ˆ ˆ CX CX * bT Y * bT Y
j 1
( a
j 1 i 1
n
m
ij
ˆ ˆ yi c j ) x j 0
m
ˆ ˆ j 1,..., n, ( aij yi c j ) x j 0
i 1
例 线性规划问题
已知其对偶问题的最优解是 Y * (6,0)T ，求 该问题的最优解。
* y1 0 * y2 0
1 3
3
2 0
设备能力 （h） 65
40 75
利润（元/件）
1500
2500
解：设变量xi为第i种（甲、乙）产品的生产件数
（i＝1,2）。则问题数学模型为：
max z =1500x1+2500x2
s.t. 3x1+2x2≤ 65 2x1+ x2≤ 40 3x2≤ 75 x1 ,x2 ≥0
若另一企业欲租用工厂的资源，工厂收取租金。试
例
解：首先在各约束条件上加上松弛变量， 将上述问题化为标准形式
CB 0 0
XB x3 x4
b 12 8
2 x1 2 1
3 x2 2 2
0 x3 1 0
0 x4 0 1
运筹学-对偶问题
对偶问题的应用场景
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以达到 最优目标。
运输问题
如何制定运输计划，使得运输成本最低且满足运 输需求。
生产计划问题
如何制定生产计划，使得生产成本最低且满足市 场需求。
投资组合优化问题
如何选择投资组合，使得投资收益最大且风险最 小。
02
对偶问题在运筹学中的重要性
对偶问题的理论完善与深化
对偶理论的数学基础
进一步深入研究对偶理论的数学基础，包括对偶映射、对偶函 数、对偶不等式等，为解决对偶问题提供更坚实的理论基础。
对偶问题的转化与求解
研究如何将复杂的对偶问题转化为更容易求解的形式，或 者设计有效的求解方法，以提高对偶问题的求解效率。
对偶理论与实际应用的结合
在对偶理论不断完善的基础上，进一步探索如何将其应用于实际问题 中，以解决实际问题的优化问题，提高决策的科学性和效率。
在整数规划中，对偶问题通常 是指将原问题的约束条件或目 标函数进行一些变换，使得原 问题与对偶问题在结构上存在 一定的对称性。
对偶问题的性质
02
01
03
对偶问题的最优解与原问题的最优解具有密切关系。
在线性规划中，如果原问题是最大化问题，则对偶问 题是最小化问题，反之亦然。
在整数规划中，对偶问题的约束条件和目标函数通常 与原问题存在一定的对称性。
02 求解步骤
03 1. 定义原问题和对偶问题。
04
2. 利用状态转移方程和最优子结构性质，求解对偶问 题。
05 3. 利用对偶问题的解，求解原问题。
博弈论中的对偶策略
1. 定义博弈中的策略空间和支付 函数。
求解步骤
2. 构造对偶问题。
运筹学第二章线性规划的对偶理论复习题
2， 0)T ； （2）由题知原问题的最优解为 x* = (3，
5
由互补松弛定理得：在对偶问题中对应第一，二个约束为紧，第三个约束条件 为松，即，
max z = x1 + x2
s.t.
− x1 + x2 + x3 ≤ 2 − 2 x1 + x2 − x3 ≤ 1 x1 , x2 , x3 ≥ 0
有可行解，但无最优解.
⎛0⎞ ⎟ 证明： x = ⎜ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
是线性问题的可行解，即该问题存在可行解；
又∵其对偶问题为：
min w = 2 y１ + y２ st. -y１ − 2 y２ ≥ 1
x1 + x 2 − x3 ≤ 2 x1 − x 2 + x3 = 1 2 x1 + x2 + x3 ≥ 2
x1 ≥ 0, x 2 ≤ 0, x3无约束
的最大值不超过 1. 证明：该线性问题的对偶问题为：
min w = 2 y１ + y２ + 2 y３ st. y１ + y２ + 2 y３ ≥ 1 y１ − y２ + y３ ≤ 2 -y１ + y２ + y３ = 1 y１ ≥ 0，y２ 自由，y３ ≤ 0
7、考虑下列原始线性规划
max z = 2 x1 + x2 + 3x3
s.t.
x1 + x2 + 2 x3 ≤ 5 2 x1 + 3x 2 + 4 x3 = 12
运筹学第二章——第八节—线性规划的对偶理论
四、对偶问题经济学含义——影子价格
因为Z*=Y*=Yb 所以：Δ Z/ Δ b=Y b——资源的量 Z——目标函数 经济学含义：资源每变动一个单位，目标函 数（利润、总产值等）变动的大小。 资源对生产做出的贡献。（影子价格） 是对现有资源实现最大效益的一个评价，叫 机会成本。
V*X=0， Y*U=0，其中V是对偶问题的剩余变量，U是 原问题的松弛变量。
（七）原问题在单纯性法迭代过程中的检验 数对应于对偶问题的一个基本解。（对应性 定理） 原问题 XB XN 对应基B检验数 0 CN-CBB-1BN 对偶问题的变量 -YS1 -YS2 XS –CBB-1 -Y
对偶问题性质的启示
原问题 有最优解 无可行解 有可行解无上界 无有限最优解 对偶问题 有最优解 无可行解 无有限最优解 有可行解但无下界
由互补松弛性定理可知： 当U>0，即AX <b时，资源未充分利用时，影 子价格为0。
二、原问题与对偶问题之间的转化
1、目标函数 MAX——Min 2、约束条件——变量 约束条件n个——变量n个 约束条件≥0 ——变量≤ 0 约束条件≤ 0 ——变量 ≥ 0 约束条件=0——变量无约束 要点：max为反向关系（约束条件——变量）
二、原问题与对偶问题之间的转化
3、变量——约束条件 变量m个——约束条件m个 变量≥0——约束条件≥ 0 变量≤ 0 ——约束条件≤ 0 变量无约束——约束条件=0 4、目标函数中变量的系数C为对偶问题中约 束条件的右端常数项b，个数对等变动。
（五）若原问题和对偶问题具有可行解，若 原问题或对偶问题之一有最优解，则另一个 对偶问题也必有最优解，且最优值相同。 （主对偶性定理） 证明 含义： 若原问题有一个对应于基B的最优解，则 CBB-1为对偶问题的最优解。
《运筹学》第二章 对偶问题和灵敏度分析jssk1
2.1 线性规划的对偶理论
解：写出该问题的对偶问题
min W 20 y1 20 y2 y1 2 y2 1 2y y 2 2 1 2 y1 3 y2 3 3 y 2 y 4 2 1 y1 , y2 0
根据互补松弛性，可得： X3*=4>0 则 2y1+3y2=3
s.t. AX ≤b X≥0 s.t. YA ≥ C Y≥0
2.1 线性规划的对偶理论
二、原问题和对偶问题的关系
1、原问题目标函数求最大值，对偶问题求最小值； 2、原问题目标函数的系数是对偶问题约束条件的右端项，原问 题中的右端项是对偶问题目标函数的系数； 3、原问题约束条件为“≤”，则在其对偶问题中决策变量为 “≥”；原问题中决策变量为“≥”，则在其对偶问题中的约束条 件为“≥”； 4、原问题中的约束条件个数等于它的对偶问题中的变量个数， 原问题中的变量个数等于它的对偶问题中的约束条件个数；
YA ≥ C
Y≥0
在单纯形法的每一步迭代中，目标函数取值 Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N)XN ，当非基变量XN=0时有 Z=CBB-1b和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1， 那么Y的经济意义是什么？
2.1 线性规划的对偶理论
Y=CBB-1=(y1,y2,…,ym)，则得
Z CB B b Yb bi yi
2.1 线性规划的对偶理论
三、对偶问题的基本定理
1、对称性：对偶问题的对偶是原问题。
2、弱对偶定理：若X(0)是原问题的可行解，Y(0)是对偶 问题的可行解，则一定有CX(0) ≤ Y(0)b
max Z=CX 证明：设原问题是 AX ≤b X≥0
则对偶问题是
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2.资源最低售价模型
设第i种资源价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有
min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t
2 X1 +2 X2 12 X1 +2 X2 8 4 X1 16 4 X2 12 X1 0 , X2 0
y1 y2 y3 y4
min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t.
2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2 2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
6
1.最大生产利润模型
设 企业生产甲产品为X1件, 乙产品为X2件，则
max z= 2 X1 +3 X2
用矩阵形式表示：
（1） max z = C X s.t AX b <========> X0 （2） max z = C X s.t AX b <========> X0 （3）max z = C X s.t AX b X0 <========> min w = Y b s.t YA C Y0 min w = Y b s.t YA C Y 0 min w = Y b s.t YA C Y0
2
2.1 对偶问题的提出
例：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种产品均需要 A、B、C、D 四种不同的材料，按工艺资料规定，生产 一单位甲乙产品需要各种材料数量及单位产品利润如表 中所示。问:如何安排产品的生产计划,才能使企业获利 最大?
设 备 产品
A
B
C
D
单位利润
甲产品 乙产品
现有材料 数量
2 2 12
10
（3）max z = C X
s.t. AX b X0
设X= -X´ 变形
max z= (-C)X ´ s.t. (-A)X´ b X ´ 0 对偶变量Y
min w = Y b s.t. Y(-A) - C Y 0
min w = Y b s.t. YA C Y 0
11
原问题与对偶问题的对应关系
12
原问题与对偶问题的对应关系表
原问题(对偶问题) 目标函数系数 约束右端项 约束条件系数列向量 A 变量个数 max 变量 x j : xj 0 x j 无约束 xj0 对偶问题(原问题) 约束右端项 目标函数系数 约束条件系数行向量 A’ 约束条件个数 min 第j个约束方程 : =
目标函数系数: b’
bm y m c1 c2 cn
系数矩阵: A=[aij]m×n
约束右端项: b=
b1 b2
:
系数矩阵: A’
约束右端项: C’
bm
8
典式模型的对偶结构的矩阵表示
原问题 （1） max z = C X s.t AX b
Y=(y1,…,ym)
对偶问题
min w = Y b s.t YA C Y0
1 2 8
4 0 16
0 4 12
2 3
3
解：设企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则 max z= 2 X1 +3 X2 s.t . 2 X1 +2 X2 12 X1 +2 X2 8 4 X1 16 4 X2 12 X1 0 , X2 0
4
我出让资源的代价不 应低于我自己组织生 产时的产值!
第 2 章 线性规划的对偶理论 • 2.1 对偶问题的提出
• 2.2 原问题与对偶问题的关系
• 2.3 对偶问题的性质
• 2.4 影子价格
• 2.5 对偶单纯形法
• 2.6 灵敏度分析
• 2.7 参数线性规划
1
对偶：Duality 对偶问题： Dual Problem 对偶线性规划： Dual Linear Programming 对偶理论： Dual Theory
我要用最小的代价 购买资源!
如果另外一企业想 将上述企业拥有的 资源收买过来，至 少应付出多少代价 ，才能使第一个企 业愿意放弃生产活 动，出售资源？
注: 关键是确定转让价格
5
设 产品
备
A
B
C
D
单位利润
甲产品 乙产品
现有材料 数量
2 2 12
1 2 8
4 0 16
0 4 12
2 3
设第i种资源单位增值价（售价＝成本＋增值），为yi, （ i=1, 2, 3, 4）, 则有
第i各约束方程: =
变量 y i :
yi 0 y i 无约束 yi0
13
• 例 写出下列线性规划问题的对偶问题.
m axZ 2 x1 3 x 2 5 x 3 x4 4 x1 x 2 3 x 3 2 x4 5 7 x4 4 3 x1 2 x 2 2 x1 3 x 2 4 x 3 x4 6 x 0, x , x 0, x 无约束 2 3 4 1
X0
9
其它模型的对偶结构的矩阵表示
(2)
max z = C X s.t AX b X0 min w=Y ´(-b) st. Y ´(-A) C Y ´ 0 令 Y=- Y ´
max z = CX
变形 s.t - AX -b X0 min w = Y b s.t YA C Y≤0 对偶问题 对偶变量Y
s.t
2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2 2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
原问题 <========> 对偶问题
注：考虑角度不同，模型中的系数有对应关系。
7
2.2 原问题与对偶问题的关系
一般形式：
原问题： max z = c1 x1 + c2 x2 + ┈ + cn xn a11 x1 + a12 x2 + ┈ + a1n xn b1 a21 x1 + a22 x2 + ┈ + a2n xn b2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2 x2 + ┈ + amn xn bm xj 0，j=1,2,┈,n 目标函数系数: C=[c1 c2 … cn] 对偶问题： min w = b1 y1 + b2 y2 + ┈ + a11 y1 + a21 y2 + ┈ + am1 ym a12 y1 + a22 y2 + ┈ + am2 ym · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · a1n y1 + a2n y2 + ┈ + amn ym yi 0，(i=1,2,· · · ,m )