《运筹学》第二章 对偶问题.

1 2 8
4 0 16
0 4 12
2 3
3
解：设企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则 max z= 2 X1 +3 X2 s.t . 2 X1 +2 X2 12 X1 +2 X2 8 4 X1 16 4 X2 12 X1 0 , X2 0
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我出让资源的代价不 应低于我自己组织生 产时的产值!
X0
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其它模型的对偶结构的矩阵表示
(2)
max z = C X s.t AX b X0 min w=Y ´(-b) st. Y ´(-A) C Y ´ 0 令 Y=- Y ´
max z = CX
变形 s.t - AX -b X0 min w = Y b s.t YA C Y≤0 对偶问题 对偶变量Y
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2.1 对偶问题的提出
例：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种产品均需要 A、B、C、D 四种不同的材料，按工艺资料规定，生产 一单位甲乙产品需要各种材料数量及单位产品利润如表 中所示。问:如何安排产品的生产计划,才能使企业获利 最大?
设 备 产品
A
B
C
D
单位利润
甲产品 乙产品
现有材料 数量
2 2 12
我要用最小的代价 购买资源!
如果另外一企业想 将上述企业拥有的 资源收买过来，至 少应付出多少代价 ，才能使第一个企 业愿意放弃生产活 动，出售资源？
注: 关键是确定转让价格
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设 产品
备
A
B
C
D
单位利润
甲产品 乙产品
现有材料 数量
2 2 12
1 2 8
4 0 16
0 4 12
2 3
设第i种资源单位增值价（售价＝成本＋增值），为yi, （ i=1, 2, 3, 4）, 则有
2.资源最低售价模型
设第i种资源价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有
min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t
2 X1 +2 X2 12 X1 +2 X2 8 4 X1 16 4 X2 12 X1 0 , X2 0
y1 y2 y3 y4
min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t.
2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2 2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
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1.最大生产利润模型
设 企业生产甲产品为X1件, 乙产品为X2件，则
max z= 2 X1 +3 X2
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（3）max z = C X
s.t. AX b X0
设X= -X´ 变形
max z= (-C)X ´ s.t. (-A)X´ b X ´ 0 对偶变量Y
min w = Y b s.t. Y(-A) - CBaidu NhomakorabeaY 0
min w = Y b s.t. YA C Y 0
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原问题与对偶问题的对应关系
目标函数系数: b’
bm y m c1 c2 cn
系数矩阵: A=[aij]m×n
约束右端项: b=
b1 b2
:
系数矩阵: A’
约束右端项: C’
bm
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典式模型的对偶结构的矩阵表示
原问题 （1） max z = C X s.t AX b
Y=(y1,…,ym)
对偶问题
min w = Y b s.t YA C Y0
第 2 章 线性规划的对偶理论 • 2.1 对偶问题的提出
• 2.2 原问题与对偶问题的关系
• 2.3 对偶问题的性质
• 2.4 影子价格
• 2.5 对偶单纯形法
• 2.6 灵敏度分析
• 2.7 参数线性规划
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对偶：Duality 对偶问题： Dual Problem 对偶线性规划： Dual Linear Programming 对偶理论： Dual Theory
用矩阵形式表示：
（1） max z = C X s.t AX b <========> X0 （2） max z = C X s.t AX b <========> X0 （3）max z = C X s.t AX b X0 <========> min w = Y b s.t YA C Y0 min w = Y b s.t YA C Y 0 min w = Y b s.t YA C Y0
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原问题与对偶问题的对应关系表
原问题(对偶问题) 目标函数系数 约束右端项 约束条件系数列向量 A 变量个数 max 变量 x j : xj 0 x j 无约束 xj0 对偶问题(原问题) 约束右端项 目标函数系数 约束条件系数行向量 A’ 约束条件个数 min 第j个约束方程 : =
s.t
2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2 2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
原问题 <========> 对偶问题
注：考虑角度不同，模型中的系数有对应关系。
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2.2 原问题与对偶问题的关系
一般形式：
原问题： max z = c1 x1 + c2 x2 + ┈ + cn xn a11 x1 + a12 x2 + ┈ + a1n xn b1 a21 x1 + a22 x2 + ┈ + a2n xn b2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2 x2 + ┈ + amn xn bm xj 0，j=1,2,┈,n 目标函数系数: C=[c1 c2 … cn] 对偶问题： min w = b1 y1 + b2 y2 + ┈ + a11 y1 + a21 y2 + ┈ + am1 ym a12 y1 + a22 y2 + ┈ + am2 ym · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · a1n y1 + a2n y2 + ┈ + amn ym yi 0，(i=1,2,· · · ,m )
第i各约束方程: =
变量 y i :
yi 0 y i 无约束 yi0
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• 例 写出下列线性规划问题的对偶问题.
m axZ 2 x1 3 x 2 5 x 3 x4 4 x1 x 2 3 x 3 2 x4 5 7 x4 4 3 x1 2 x 2 2 x1 3 x 2 4 x 3 x4 6 x 0, x , x 0, x 无约束 2 3 4 1