第2章789+对偶理论

9y1+4y2+3y3 ≥70 (1) 4y1+5y2+10y3 ≥120 (2)
y1 ≥0, y2 ≥0, y3 ≥0
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2.5.2 对偶问题表示
根据上述例题可见，对于形如如下形式的线 性规划问题：
Max s.t.
Z cT x 我们可以马上得出 Ax b 它的对偶问题： x0
第2章 线性规划问题
2.5 对偶理论
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本节研究、解决三个问题： 1、如何写出对偶问题； 2、原问题与对偶问题之间的关系； 3、对偶单纯形法（解线性规划问题的第
4种方法）
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2.5.1 对偶问题的提出
例1——生产计划问题
某厂生产两种产品，需要三种资源，已知 各产品的利润、各资源的限量和各产品的资源 消耗系数如下表：
若原问题的目标函数是 Max 型，则对偶 问题的目标函数必是 Min 型。它们二者 的最优目标函数值相等。
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2.5.3 一般LP的对偶问题 （书本P45定义 2.5.1）
原问题（P）：
对偶问题（D）：
min cTx
max bTy
s.t. aiTx =bi i=1,…,p
aiTx ≥ bi i=p+1,…,m
产品A 产品B 资源限量
劳动力
9
4
360
设备
4
5
200
原材料
3
10
300
利润（元/kg） 70
120
3
例1——模型
问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ 步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg，B产品x2kg
2、确定目标函数：max Z=70X1+120X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360
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第2章 线性规划问题
2.5（2） 对偶单纯形法
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对偶理论
证明：定理2.5.1（黑板讲解） 对偶单纯形法（黑板讲解）
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求解LP问题的四种方法
1. 图解法 2. 单纯形法 3. 两阶段法 4. 对偶单纯形法
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对偶单纯形法
黑板讲解
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2.6 灵敏度分析
黑板讲解
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xj ≥ 0 xj >< 0
j=1, …,q j=q+1, …,n
s.t. y>< 0 y≥0
AjTy c AjTy = c
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对偶规则
原问题有m个约束条件对偶问题有m个变量 原问题有n个变量 对偶问题有n个约束条件 原问题的价值系数对偶问题的右端项 原问题的右端项对偶问题的价值系数 原问题的系数矩阵转置后为对偶问题系数矩阵
从整个问题来看，1、总的投入最低，2、投入品的 价值也要得到合理体现！综合起来得到问题模型！
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问题模型
Min w=360y1+200y2+300y3 s.t. 9y1+4y2+3 y3 ≥70
4y1+5y2+10y3 ≥120 y1，y2，y3 0
这个线性规划问题称为例1的（称为原问 题）对偶问题。
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对偶规则
对偶问题
目标函数
max
约束条件
≤
≥
=
≥
变量
≤
无约束
min ≥ ≤
无约束
≥ ≤ =
原问题 目标函数 变量
约束条件
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2.5.4 对偶问题的基本性质
对偶定理2.5.1 ：若一个LP问题有最优解， 则它的对偶问题也有最优解，且目标函数值
相等。
对称性：对偶问题与原问题互为对偶。
无界性：原问题无界，对偶问题无可行解
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原材料
3
单位利润 70
产品B 4 5 10
120
资源限制 360 200 300
5
目标分析
设劳动力每个工时收费Y1元，设备台时费 用Y2元，原材料附加费Y3元。
现在我们的目标变成下面这个式子： min w=360y1+200y2+300y3
那么约束条件是什么呢？
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约束条件分析
单个因素的收入最大：即投入于产品A的资源收入 要大于A的销售收入，投入于产品B的资源收入要 大于B的销售收入，即 9y1+4y2+3y3 ≥70 4y1+5y2+10y3 ≥120
Min w bT y
s.t .
AT y c

y0
其中：AT、bT 分别是原LP中的约束条件矩阵 A的转 置矩阵与约束条件中右端向量的转置(即为行向量)。
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线性规划问题与其对偶问题的相关性
原问题的约束条件的个数 m 就是对偶问 题的变量的个数；
原问题的变量的个数 n 就是对偶问题的 约束条件的个数；
原问题与对偶问题：
原始 对偶 有最优解
问题无界
无可行解
有最优解
1
X
X
问题无界
X
X
3
无可行解
X
3
2
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2.5.5 对偶变量的经济解释
对偶变量yi在经济上表示原问题第i种资源的边际贡 献，即当第i种资源增加一个单位时，相应的目标值 z的增量。
对偶问题的最优解yi*是原问题第i种资源的影子价 格
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一般形式的线性规划问题，写出其对偶 问题的规则是什么？
课堂讲解第44页； 要求：看到原问题，能立即写出其对偶
形式；
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原问题与对偶问题比较
原问题：
对偶问题：
maxZ=70X1+120X2
minω=360y1+200y2+300y3
9X1+4X2≤360 4X1+5X2 ≤200 3X1+10X2 ≤300 X1≥0 X2≥0
设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0
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例1——另一角度分析：成本 角度
利润大的另一方面是什么：成本越小！因此，我们可 以试着从成本角度来分析生产决策者的心态！现在资源的 数量已经定了，那么我们可以从价格来着手！
产品A
劳动力
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设备
应用:1.出租资源或设备时，租金价格的设定(至少 高于该资源在企业内的影子价格)
2.企业内资源 I的存量设定(当资源 I的影子价 格市场价格时，可买进该资源；否则卖出)
3.调整资源的分配量以增加利润
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2.5（1） 对偶问题
要求：
了解LP对偶问题的实际意义 掌握对偶问题的建立规则与基本性质 了解对偶最优解的计算及其经济解释