微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线

sin d cos 1 cos sin [ ( Eu Ev ) E 2 E E ds E G
sin d Eu cos2 Ev sin cos , 2 2E E ds 2 E EG d 2v cos d Gu sin cos Gv sin2 , 同理， 2 2 ds 2G G ds 2G EG
i j 2 2 1 i j du1 d 2 u 2 du du du d u du du 2 1 kg g[ ( 2 ij ) ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
测地曲率的一般计算公 式.
F 0, 此时， 特别地， 在正交坐标网下，
1 11
Ev Ev Eu 1 1 2 , , 12 21 , 11 2E 2G 2E Gu G u 2 Gv , 2 2 1 12 21 , 22 , 22 2G 2G 2E
i j 2 2 1 i j du1 d 2 u2 du du du d u du du 2 1 kg g[ ( 2 ij ) ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j du d 2v 2 du du 2 du dv 2 dv du 2 dv dv g [ ( 2 11 12 21 22 ) ds ds ds ds ds ds ds ds ds ds dv d 2 u 1 du du 1 du dv 1 dv du 1 dv dv ( 2 11 12 21 22 )] ds ds ds ds ds ds ds ds ds ds Gu du 2 dv Gv du dv 2 du d 2v Ev du 3 g[ ( ) 2 ( ) ( ) ) 2 ds ds 2G ds 2G ds ds 2G ds ds Ev du dv 2 Gu dv 3 dv d 2 u E u dv du 2 ( ) 2 ( ) ( ) )] 2 ds ds 2 E ds ds 2 E ds ds 2 E ds
i j d 2 uk du du k g [ ] 0 ( l 1,2) kl ij 2 ds ds ds k i, j 解， g det(gkl ) 0, 于是以上方程组只有零
i j d 2uk du du k 2 ij 0 ds ds ds i, j
. 注 测地曲率是内蕴量
6.2 曲面上的测地线
一.测地线及其性质
果它上面每一点的测地 曲率 定义 曲面上的一条曲线，如 均为零，则称为测地线 .
注
曲面上的直线一定是测 地线.
的点以外，曲线的主法 线重合于曲面的法线 .
测地线 除了曲率为 0 命题3 曲面上非直线的曲线是
证：" " 若曲线(C )是测地线， 由定义可知，
在曲面上，连接两点 P , Q的线段中哪条最短？
6.1 曲面上曲线的测地曲率
一.测地曲率的概念
1 2 ( S ) : r r (u , u ) n (C ) : u u ( s),( 1,2) 令 n P 定义 曲线(C )在P点的曲率向量r kFra Baidu bibliotek上的投影 （也就是在S上P点的切平面上的投影） 称为曲线(C )在P点的测地曲率. 记作 : k g 即 k r k
第二章
曲 面 论
§6 曲面上的测地线
1.曲面曲线的测地曲率； 2.曲面上的测地线； 3.曲面上的半测地坐标网； 4.曲面上测地线的短程性； 5.高斯-波涅(Gauss-Bonnet)公式; 6.曲面上向量的平行移动； 7.极小曲面.
主要内容
平面上，连接两点 P , Q的线段中直线段最短， 问题：
g
1 2 ( S ) : r r (u , u ) n (C ) : u u ( s),( 1,2) 令 n P k g k k (n ) k ( , n, ) k ( , , n) k( ) n k ( n) k cos( ) k sin , 2 而kn k cos , 于是有
地线. 例1. 球面上的大圆一定是测 因而重合于球面的法线 . 因为大圆的主法线通过 球心， 线的测地线是曲率线 例2. 证明曲面上一条异于直 它是平面曲线. 则 // n, 即 n, 证： 设曲线(C )是异于直线的测地线， , 两边对弧长s求导得： n () k n 即
二.测地线的方程
// n, 而n rl 0, (l 1,2) 由测地线的特征： rl 0 r rl 0 从而 2 k i j i j d u du du du du k r [ 2 ij ] rk Lij n ds ds ds ds ds k i, j i, j 2 k i j d u du du k g [ ] 0 ( l 1,2) 两边点乘rl 得： kl ij 2 ds ds ds k i, j
令曲线的切方向 与ru的夹角为， v坐标曲线 rv dr ru rv C cos sin , S 则 P ds E G ru dr du dv 又 ru rv , ds ds ds u坐标曲线 du cos dv sin 比较以上两式得： , , ds E ds G
三.测地曲率的计算公式
1 2 ( S ) : r r (u , u ) n (C ) : u u ( s),( 1,2) 1 2 或 r r [ u ( s ), u ( s)] P k g k ( , , n) ( , k , n) (r , r , n) i du 而r ri， ds i i j 2 i du du d u r rij 2 ri ds i , j ds ds i 2 i dui du j d u k [ ij rk Lij n] 2 ri ds i , j ds ds k i
" " 若曲线(C )又是曲率线， 由罗德里格定理得： dn k N dr n k N r k N 即 代入()式得： k k N 两边点乘得： 0，曲线(C )是平面曲线.
则 0， " " 若曲线(C )是平面曲线， 代入()式得： k n // n 或dn // dr ， 即 曲线(C )是曲率线.
2 i dui du j d u k [ ij rk Lij n] 2 ri ds i , j ds ds k i i j i j 2 k du du du du d u k ij rk Lij n 2 rk ds ds ds ds ds i , j ,k i, j k i j i j d 2 uk du du du du k [ 2 ij ] rk Lij n ds ds ds ds ds k i, j i, j i du , r ri k g (r r, n) ds i i j 2 2 1 i j du1 d 2 u2 du du du d u du du 2 1 [ ( 2 ij ) ( 2 ij )] (r1 , r2 , n) ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
对曲线(C )上任意一点， k g k sin 0, k , sin 0, 故 0或 , 0 // n, 即曲线的主法线重合于 曲面的法线.
" " 若曲线的主法线重合于 曲面的法线， 即 // n,

则 0或 , kg k sin 0, 曲线(C )是测地线. )的曲线是测地线 r // n. 推论1 曲面上(不含逗留点 切， 并且此曲线是其中 推论2 如果两曲面沿一曲线相 一个曲面的测地线， 那么它也是另一个曲面 的测地线. 则它必是另一个曲面的 测地线. 证：(1)若该曲线是直线， 由已知， (2)若该曲线非直线， 两曲面沿这条曲线有公 共的切平面， 它们的法线重合， 因而沿这条曲线， 而曲线在一点的主法线 只有一条， 所以当这条曲线的主法 线与两曲面之一的法线 重合时， 由命题3知， 同时必与另一曲面的法 线重合， 这条曲线也是另一个曲 面的测地线.
d 2u sin 2 ds E sin E sin E
d 1 d E cos ( ) ds E ds d cos 1 du dv [ ( Eu Ev ) ds E 2 E ds ds d cos 1 cos sin [ ( Eu Ev ) ds E 2 E E G
代入上面kg的表达式整理得： Ev Gu d kg cos sin ds 2 E G 2G E
d 1 ln E 1 lnG cos sin ds 2 G v 2 E u
d 1 ln E 1 ln G kg cos sin ds 2 G v 2 E u 柳维尔 ( Liouville)公式 1 ln E 0, k gu 对于u 曲线， 2 G v k 1 lnG , gv 对于v 曲线， 2 E u 2 d kg k gu cos k gv sin . ds
命题1
2 2 k 2 kn kg
二.测地曲率的几何意义
k k ， 命题2 g (其中k 是曲线(C )在切平面上的投影曲线 (C )的曲率)
证：
1 2 ( S ) : r r (u , u ) n (C ) : u u ( s),( 1,2) P (C ) 在柱面上应用梅尼埃定 理. 是柱面在P的法向量， 平面是柱面在点P沿切方向的法截面， 柱面在点P沿切方向的法截线是(C ), 由梅尼埃定理， 设kn是柱面在点P沿切方向 的法曲率， kn k , 而kn k cos( , ) k( ) k g . k g k .