存在无风险借贷机会的投资组合的收益率与风险

存在无风险借贷机会的投资组合的收益率与风险

现考虑由n 种证券构成的投资组合P ，组合P 包含无风险资产，其投资比重为F x ；另外)1(-n 种证券都是风险证券，)1(-n 种风险证券在组合P 中总的投资比重为)1(F x -。我们将仅仅由这)1(-n 种风险证券构成的风险证券组合记为R 。因此，投资组合P 可以视为由无风险资产和风险证券组合R 的组合而构成。

F x 可以取正数，也可以为负数。

当F x 大于零时，表示投资者将一部分资金投资于风险证券组合R ，将另一部分资金投资于无风险资产，这相当于以无风险利率F r 贷出一部分资金，或者说存在“无风险贷出机会”。这时，无风险资产与风险证券组合R 的投资比重F x 和)1(F x -都大于零而小于1，我们把这种投资组合称为“贷出性投资组合”。

而当F x 小于零时，表示投资者卖空无风险资产，或者说以无风险利率F r 借入一部分资金，并把所获得的资金与初始自有资金一起投资于风险证券组合R ，即存在着“无风险借入机会”。这时候，无风险证券的投资比重F x 小于零，而风险证券组合R 的投资比重（1-F x ）大于1，我们把这种投资组合称为“借入性投资组合”。

而当F x 等于零时，表示投资者将所有的资金全部投资于风险证券组合R ，即不存在“无风险借贷机会”。无论是上述三种情况的哪一种情形，无风险资产与风险证券组合R 投资比重之和都等于1。

前面已经讨论了风险证券组合的收益率与风险是如何衡量的，因此在这里，我们假设风险证券组合R 的期望收益率与标准差为已知，

分别为R r 与R σ。

由公式（13）可知，存在无风险借贷机会的投资组合P 的期望收益率为：

)()1()(R F F F P r E x r x r E -+= （1）

因而，存在无风险借贷机会的投资组合的期望收益率为无风险收益率与风险证券组合的期望收益率的加权平均数，其权数为两者在整个投资组合P 中所占的投资比重。

由公式（9-14），投资组合P 收益率的标准差为：

R

F F F R

F F P x x x x x σσσ)1(0)1(2)1(0222-=⨯-+-+⨯= (2) 因此，当存在无风险借贷机会时，投资组合的风险（标准差）等于风险证券组合的投资风险（标准差）与其投资比重的乘积。

例1 设无风险利率为5%，风险证券组合的期望收益率为10%，标准差为8%。求当无风险资产的投资比重F x 分别为-50%、-10%、0%、10%、50%、100%时整个投资组合P 的期望收益率与风险。

计算结果由表1所示：

表1 不同无风险资产投资比重下组合P 收益率和风险的计算结果 F x

-50% -10% 0% 10% 50% 100% )

(p r E 12.5% 10.5% 10% 9.5% 7.5% 5% p σ 12% 8.8% 8% 7.2% 4% 0%

从上述计算我们可以看出，随着无风险证券投资比重的增加，投资组合的期望收益率逐渐减小，同时，组合的风险也在减小。