信号与系统 §6.3 Z变换的收敛域

n
an1 an
ρ
2．根值判定法 即令正项级数的一般项 a n 的n次根的极限等于，
lim
n
n
an
则
<1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
三．讨论几种情况
1．有限长序列的收敛域
x(n), n1 n n2
2．右边序列的收敛
x( n) a un
n
ROC: Region of convergence 不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相 同的z 变换，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
二．两种判定法
1．比值判定法
若有一个正项级数， a n
n
令
则： <1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
lim
1 1 z a 1 a az z za
a X z 1
ROC: z a
4．双边序列的收敛
xn b
或
n
n b 0
n n
x n b un b u n 1
n 0 n 0
0b1
0n
3．左边序列的收敛
x( n) a u n 1
n
n 1
4．双边序列的收敛
xn b
n
n b 0
2．右边序列的收敛
x( n) a un
n
X (z)
a z
n n 0

n
a 1 n a z lim n a n 0 z 1 z
n1
当
a z
1，即 z a 时收敛
1 1 a z z za
X z

ROC： z a
3．左边序列的收敛
x( n) a u n 1
n
n 1
X (z)
n
a
1
n
z
n

m
令m n
X (z)
m 1
a


m
z
m
a
m 0
z
m
a
0wenku.baidu.com
z 1 a
0 m 0

m
z
m
z 1 m 0 a
m
m 1 z 1 lim 1 m a
z 1 a
当
z
1，即 z a 时收敛
§6.3 z变换的收敛域
收敛域的定义 两种判定法 讨论几种情况
四川文理学院 物理与工程技术系 2009 .9
一．收敛域的定义
对于任意给定的序列x(n) ，能使 X ( z ) 收敛的所有z 值之集合为收敛域。
即满足
n
x ( n) z

n
n


x ( n) z
n

的区域（ROC）
1

x n b
n
b un
n
z zb
z b

n
b
n
u n 1
b

u n 1
1 n 1
b1
x n b
n
z zb
z b
1

1

n
若 0b1
1 b
b
则ROC : b z
1 b
四．总结
★ x(n)的收敛域（ROC）为 z 平面以原点为中心 的圆环； ★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）； ★ 有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）； ★右边序列的ROC为 z R1的圆外； ★左边序列的ROC为 z R2的圆内；
★双边序列的ROC为 R1 z R2 的圆环。