第十章自相关讲解
自相关2
自相关的最简单模式为：
ut = ρut-1 + Vt,
t=1,2,…,n.
其中ρ称为自相关系数（-1≤ρ≤1），这 种扰动项的自相关称为一阶自相关，即扰 动项仅与其前一期的值有关。我们有： ρ>0 正自相关
ρ<0 ρ=0
负自相关 无自相关
在一阶自相关模式中，假定Vt具有以下性质： E(Vt) = 0 , E(Vt² = σ 2 = 常数， ) E(ViVj)=0, i≠j, Vt服从正态分布。 在计量经济学中，具备上述性质的量称为白噪 声（White noise），表示为 Vt= White noise
自相关意味着 Cov(ui , uj) = E(uiuj) ≠0, 回顾协方差的含义？
i≠j
COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。 协方差是描述X和Y相关程度的量，在 同一量纲之下有一定的作用，但同样 的两个量采用不同的量纲使它们的协 方差在数值上表现出很大的差异。
自相关的一般形式
三、自相关的检验
基本思路: 自相关检验方法有多种，但基本思 路相同：首先，采用OLS估计模型，以 求得随机扰动项的估计量残差ei
然后，通过分析残差的相关性， 以判断随机误差项是否具有自相关。
1.图示检验法 2. 杜宾—瓦尔森检验法
up
1.图示检验法
（1）绘制et，et-1的散点图。如果大部分落 在第I、III象限，表明e存在正的序列相关； 如果大部分落在第II、IV象限，表明e存在 负的序列相关。
第一节 第二节 第三节 第四节 小结
什么是自相关 自相关的后果 自相关的检验 自相关的补救
一、自相关概念
对于模型
Yi=1+2X2i+3X3i+…+kXki+i i=1,2, …,n
eviews-4.自相关解析
三、序列相关性的后果
计量经济学模型一旦出现序列相关性，如果仍采用OLS 法估计模型参数，则OLS估计量仍然是线性无偏估计量， 但是会产生下列不良后果：
1、参数估计量非有效
因为，在有效性证明中利用了 E(UU’)=2I 即同方差性和无序列相关假设。
证明：
ˆ k t t 1 1
ˆ ) E[ ˆ E( ˆ )]2 E( ˆ )2 var( 1 1 1 1 1
~ Y (Yˆ )ˆ e e i Yi (iY0ls)
t t
t ols
然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相 关性，以判断随机误差项是否具有序列相关性。
自相关的检验方法
检验自相关的方法也可以分为两种：一种是图示 法，另一种是检验方法。
（一）图示法
由于回归残差 e 可以作为随机项 u t 的估计量， ut t 的性质可以从 e 的性质中反映出来。我们可以通 t 过观察残差是否存在自相关来判断随机项是否存 在自相关。
ts
经济变量以正相关居多， 所以此项多为正数
ˆ ˆ) var( ) var( 1 1
2、变量的显著性检验失去意义
在变量的显著性检验中，统计量是建立在参 数方差正确估计基础之上的，这只有当随机误差 项具有同方差性和无序列相关时才能成立。
如果存在序列相关，参数估计量的方差 出现偏误（偏大或偏小），t检验就失 去意义。其他检验也是如此。
称ut具有一阶自回归形式。 比如:
ut 1ut 1 vt
满足经典假设
由于序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模型中， 因此，本节用下标t代表i。
ut 1ut 1 vt
ˆ1
u u
自相关系数‘-概述说明以及解释
自相关系数‘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:自相关系数是用于衡量时间序列数据中各个数据点之间的相关性程度的统计指标。
在时间序列分析中，了解数据点之间的关联性可以帮助我们预测未来的趋势和波动。
自相关系数可以告诉我们当前数据点与之前数据点之间的相关性强弱，进而帮助我们做出更准确的预测。
本文将介绍自相关系数的定义、计算方法及其在实际应用中的领域。
通过深入理解和掌握自相关系数的概念，我们可以更好地分析时间序列数据，从而提高预测的准确性和可靠性。
1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三部分。
在引言部分，我们将介绍本文的概述、文章结构和目的。
在正文部分，我们将详细讨论什么是自相关系数、自相关系数的计算方法以及自相关系数的应用领域。
最后，在结论部分，我们将总结自相关系数的重要性，讨论自相关系数的局限性，并展望未来可能的研究方向。
通过这样的结构安排，读者可以系统地了解和掌握自相关系数的相关知识，深入理解其在实际应用中的意义和价值。
1.3 目的自相关系数作为统计学中重要的概念，其在时间序列分析、信号处理、经济学和金融等领域都有广泛的应用。
因此，本文的目的是深入探讨自相关系数的概念、计算方法以及在不同领域中的应用，希望读者能够通过阅读本文，全面了解和掌握自相关系数的相关知识，进一步拓展对其应用的认识，为实际问题的分析和解决提供理论支持和参考。
同时，本文也将探讨自相关系数的局限性，引领读者思考如何克服这些局限性，并提出未来研究的方向，为自相关系数的进一步研究和应用提供启示。
通过本文的阐述，希望能够增进读者对自相关系数的理解，为其在实际应用中发挥更大的作用提供帮助。
2.正文2.1 什么是自相关系数：自相关系数是统计学中一种用来衡量时间序列数据中自相关性程度的指标。
在时间序列分析中，自相关性指的是同一个变量在不同时间点上的相关性。
自相关系数用来表示数据之间的相关性程度，如果两个数据在时间上相关，那么它们之间的自相关系数将会是一个非零的值，反之则为零。
六章自相关
Econometrics 2005
18
6.3 自相关的检验
6.3.1 图解法
时间序列图（Time Sequence plot):将残差对时间描点。 如图（a）所示，扰动项的估计值呈循环形，并不频繁 地改变符号，而是相继若干个正的以后跟着几个负的。 表明存在正自相关。
t
t
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小于临界值，表示存在序列相关。
Econometrics 2005
28
6.4 自相关的补救1: ( 已知）广义差分法
以双变量回归模型和AR(1)为例。
Yutt
1 2 X t ut1 t
ut
Yt 1 2 X t ut
(1)
Yt1 1 2 X t1 ut1
( 2)
(1) (2) :
Yt Yt1 b0 (1 ) b1( X t X t1) t
差分形式
Yt b0 (1 ) Yt1 b1X t b1X t1 t
a0 b0 (1 )
a1 b1
Yt a0 Yt1 a1 X t a2 X t1 t
a2 b1
往也是正的。于是在不同的样本点之间，随机误差项出现了相关
性，这就产生了序列相关性。
Econometrics 2005
16
再如，以绝对收入假设为理论假设、以时间序列数据
作样本建立居民总消费函数模型：
Ct 0 1 I t t
t=1,2,…,n
消费习惯没有包括在解释变量中，其对消费量的影响被
包含在随机误差项中。如果该项影响构成随机误差项的
类似一阶自相关的定义， 若rs Cov(ut ,uts ) 0, s 2 则称为是高阶自相关。
Econometrics 2005
时间序列的自相关
时间序列的自相关
时间序列的自相关是指一个时间序列中的每个数据点和其之前
的数据点之间的相关性。
自相关可以用来检测时间序列中的趋势和周期性，以及预测未来值。
自相关系数是衡量自相关强度的指标，它可以在不同的滞后期进行计算。
自相关分析可以通过绘制自相关函数图来实现。
自相关函数图表现了自相关系数与滞后期之间的关系。
如果自相关系数在滞后期为0时最大，那么时间序列中存在一个明显的周期性。
如果自相关系数随着滞后期的增加而减小，那么时间序列中的相关性越来越弱。
除了自相关，还有一个相关的概念叫做偏自相关。
偏自相关是指两个数据点之间的相关性，控制了其他滞后期的影响。
偏自相关函数图可以用来检测时间序列中的季节性和趋势。
在实际应用中，自相关分析可以用来预测未来的趋势和周期性。
如果时间序列中存在周期性，那么自相关分析可以帮助我们确定周期的长度和强度。
如果时间序列中存在趋势，那么自相关分析可以帮助我们预测未来值的趋势。
- 1 -。
自相关的常见原因
自相关的常见原因自相关是指时间序列数据中观测值与之前的观测值之间的关联。
常见原因有以下几种：1. 趋势：若时间序列数据中存在长期的趋势，即数据具有明显的增长或下降趋势，那么相邻观测值之间往往存在较强的自相关性。
这是因为当前观测值与之前的观测值之间存在一定的联系，后一时刻的观测值往往受到前一时刻的影响。
2. 季节性：对于季节性的时间序列数据，例如销售额、股票价格等，相邻观测值之间通常存在较强的自相关性。
这是因为季节性因素导致了时间序列数据在特定季节内的波动性较高，而相邻观测值之间往往存在较强的关联。
3. 周期性：时间序列数据中可能存在周期性的波动，即一定时间间隔内数据的波动性周期性地重复出现。
相邻观测值之间往往具有较强的自相关性，因为当前观测值与前一时刻的观测值之间存在着明显的联系。
4. 惯性：时间序列数据中，相邻观测值之间可能存在一定的惯性效应。
即当前观测值受到了前几个时刻的观测值的影响，因此相邻观测值之间往往存在较强的自相关性。
5. 随机性：虽然时间序列数据可能包含一定的随机噪声，但是相邻观测值之间仍然可能存在一定的自相关性。
这是因为即使存在随机波动，可能仍然存在持续一段时间的趋势或周期性，导致相邻观测值之间存在关联。
6. 延迟效应：时间序列数据中可能存在一定的延迟效应，即当前观测值受到之前的观测值的延迟影响。
因此，相邻观测值之间往往存在较强的自相关性。
7. 异常值：时间序列数据中可能存在一些异常值或离群点，这些值可能对之后的观测值产生一定的影响。
因此，相邻观测值之间可能存在较强的自相关性。
综上所述，自相关的常见原因包括趋势、季节性、周期性、惯性、随机性、延迟效应以及异常值等。
这些原因导致了时间序列数据中相邻观测值之间的关联性，对于时间序列数据的分析和预测具有重要的意义。
方差,自相关,互相关,协方差等代表的物理意义
方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义信号的均值，方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义2010-05-31 09：201.均值：信号幅度的平均值，物理含义是不是信号的直流电平?2.方差：信号幅度偏离均值的程度，是不是在某种意义上代表了信号振荡的趋势?比如波峰和波谷 3.自相关/互相关：是指信号之间的相似程度吗?那么在时间轴上，又代表了信号的什么特性呢?4.还有协方差?1.在matlab里，协方差的计算是在计算相关之前减去了均值，是不是就是指减去了信号的直流分量，如果信号的均值为0的话，协方差的结果和相关的结果应该是一样的吧。
正弦波交流信号的直流分量为零，但不能说其均值为零，因为均值是衡量随机信号的一个统计参量，而正弦波是确定性信号。
其它概念同样如此。
这些统计参量的精确定义书上都有，建议好好领会。
对随机变量来说，"平均"包含"无限"的含义，任意长的有限样本都不能替代随机信号的整体特点，这是和确定性信号特征描述的主要区别。
3.自相关/互相关：是指信号之间的相似程度吗?那么在时间轴上，又代表了信号的什么特性呢?互相关指2个信号之间的相似程度，时间轴表示"挪"了多少的"距离"，比如一个信号不动，另一个以起点开始"错动"，"挪"到某点时，两个信号的相似程度在函数值上体现，而"挪动"的"距离"在时间轴上体现。
自相关表示信号的周期性--自相关极值点间的距离就是周期；对于随机信号，自相关表示该信号的变化快慢--如果自相关函数平滑，说明变化慢；我知道：对于随机信号，因为不能确知它在每个时刻的值，所以我们从统计平均的观点来认识它。
如果已知其概率分布(包括一维和多维概率分布)，我们就可以认为这个随机信号在统计意义上已充分理解或描述了。
在实际过程中，要得知一个随机过程各点上的随机变量的分布函数并不是很方便，但随机过程的各种统计特征量从各个侧面间接的反映了概率分布特性，所以通过某些特征量就足够描绘这些过程了。
自相关函数与协方差函数的关系
自相关函数与协方差函数的关系
自相关函数和协方差函数都是用于描述随机变量之间的相关性的
工具。
它们都是常用的统计学概念，在很多领域，如金融、经济学、
物理学等都有重要的应用。
自相关函数是用来衡量随机变量自身的相关性，也叫做自相关系数。
它是一个时间序列与其自身的滞后版本之间的相关系数。
如果一
个时间序列的自相关函数显示出明显的周期性，则它被称为具有周期性。
另一方面，协方差函数用于衡量两个不同随机变量之间的相关性。
协方差函数度量两个变量之间的线性关系。
如果两个变量的协方差为正，则它们可能呈现正相关，而如果协方差为负，则它们可能呈负相关。
在这种情况下，变量之间的关系更可能是非线性的。
尽管自相关与协方差之间存在差异，但它们之间确实存在某种程
度的联系。
如果两个随机变量具有线性相关性，则它们的自相关函数
和协方差函数将会具有相同的形状。
然而，如果其相关性是非线性的，则两种函数之间的联系就会劣化。
这就表明了两种函数的差异之处。
自相关函数中忽略其他变量的影响，只考虑变量自身的相关性，而协
方差函数则反映了两个变量的整体相关性。
综上所述，自相关系数主要用于度量并描述时间序列数据自身的
相关性，而协方差系数则主要用于描述两个变量（或多个变量之间）
之间的相关性。
两种函数的具体用途会有所不同，但它们都是经常被
用于分析随机变量之间的相关性的重要工具。
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假定是一阶自相关，即 ut u t1 vt
对于一元线性回归模型：
Yt = B1 + B2 Xt + ut (1)
滞后一期模型：
Yt-1 = B1 + B2Xt-1 + ut-1
可得：
Yt-1 = 1 + 2 Xt + ut-1 (2)
这称为广义差分方程，因为被解释变量与解释 变量均为现期值减去前期值的一部分，由此而 得名。
许多农产品的供给呈现为
蛛网现象，如果 t 时期
的价格 Pt 低于上一期的 价格 Pt-1 ，农民就会减少
时期 t 1 的生产量。如
此则形成蛛网现象。
9
第二节 自相关的后果
1、最小二乘是线性和无偏的，但不是有效 的。
2、OLS估计量的方差是有偏的。 有时 ˆ 2 ei2 将低估真实的 2
n-k
10
Yt*
=
B1*
+
B*2
X
* t
+ vt
注（1）在进行广义差分时，样本容量由 n 减少
为n 1 ，即丢失了第一个观测值。此时，可采
用普莱斯－温斯滕（Prais-Winsten）变换，将 第一个观测值变换为：
Y1* Y1 1- 2 和X1* X1 1- 2
补充到差分序列中，再使验法 ● DW检验法
11
一、图示检验法
et
et-1
表明存在着正自相关。
12
et et-1
表明存在着负自相关。
et
•
• ••
• •• t
二、对模型检验的影响
存在负自相关
14
et t
存在正自相关
二、DW检验法
DW 检验是J.Durbin(德宾)和G.S.Watson(沃特森) 于1951年提出的一种适用于小样本的检验方法。
只能用于检验随机误差项具有一阶自回归形式的 自相关问题。
检验方法是检验自相关中最常用的方法，一般的 计算机软件都可以计算出DW 值。
随机误差项的一阶自回归形式为：
ut = ut-1 + vt
构造的原假设是：H0 : 0
n
检验统计量：DW =
(et
t=2 n
- et-1)2
et2
t =1
n
即假定自回归形式为一阶自回归 AR(1)。
7
二、自相关产生的原因
经济系统的惯性
自
相
经济活动的滞后效应
关
产 生
数据处理造成的相关
的
原
蛛网现象
因
模型设定偏误
蛛网现象
蛛网现象是微观经济学中的 一个概念。它表示某种商品 的供给量受前一期价格影响 而表现出来的某种规律性， 即呈蛛网状收敛或发散于供 需的均衡点。
计量经济学
第六章
自相关
第六章 自相关
本章讨论四个问题：
●什么是自相关 ●自相关的后果 ●自相关的检验 ●自相关性补救措施
第一节 什么是自相关
本节基本内容:
●什么是自相关 ●自相关产生的原因
第一节 什么是自相关
一、自相关的概念
自相关（auto correlation），又称序列相关（ serial correlation） 是指总体回归模型的随机误差项之间存在相关 关系。
对于一元线性回归模型：Yt = B1 + B2 X t + ut
假定一阶自回归形式，即 : ut = ut-1 + vt
滞后的被解释变量
三、h检验法
德宾（Durbin）于1970年提出用h检验来
检验含滞后因变量的模型的自相关情况
模型：Yt = B1 + B2 Xt + B3Yt1 +ut
原假设：H0: 0 检验统计量： h
n 1 nVar(B3)
h N (0,1) (近似)
第四节 自相关的补救
一、广义差分法
两式相减,可得:
Yt - Yt-1 = B1(1- ) + B2 ( Xt - Xt-1) + ut - ut-1
式中， ut - ut-1 = vt 是经典误差项。因此，模
型已经是经典线性回归。令：
Yt*
= Yt
- Yt-1
,
X
* t
=
Xt
- X t-1,
β1* = 1(1- )
则上式可以表示为： 广义差分方程
系数。
5
ut = 1ut-1 + 2ut-2 + vt
称为二阶自相关，
1 为一阶自相关系数
2 为二阶自相关系数
此式称为二阶自回归模式，记为 AR(2)
6
一般地，若模型为：
ut = 1ut-1 + 2ut-2 + ... + mut-m + vt
则称此式为 m 阶自回归模式，记为 AR(m)。
在经济计量分析中，通常采用一阶自回归形式，
（2）原方程和差分方程的 R2 不能比。
2、 未知时
关键：寻找并确定
(1)由DW 与
的关系知:
ˆ 1- DW
2
小样本下，精度差。
对小样本下，泰尔和纳加（Theil-Nagar）
将公式调整：
2
n
(1
DW
)
k2
ˆ
2
2
n
k2
（2）CO法 （科克伦-欧卡特法 Cochrane － Orcutt）
DW检验决策规则：
0 DW dL
dL DW dU dU DW 4 - dU 4 - dU DW 4 - dL
正相关 不能判定 无自相关 不能判定
4 - dL DW 4
负相关
20
用坐标图更直观表示DW检验规则：
正不 自能 相确 关定
0 dL dU
无 不负 自 能自 相 确相 关 定关 2 4 4 dU 4 dL DW
DW检验的缺点和局限性
● DW检验有两个不能确定的区域，一旦DW值落在这
两个区域，就无法判断。这时，只有增大样本容量或选 取其他方法
● DW统计量的上、下界表要求 n 15 ，这是因为样本
如果再小，利用残差就很难对自相关的存在性做出比较 正确的诊断
● DW检验不适应随机误差项具有高阶序列相关的检验 ●只适用于有常数项的回归模型并且解释变量中不能含
n
n
et2 +
e2 t -1
-
2
et et -1
DW = t=2
t=2 n
t=2
2 2
et2
t =1
n
etet-1
（ˆ
t=2 n
）
et2
t =1
18
由 DW 2(1 ˆ) 可得DW 值与 ˆ 的对应关系如表所示。
ˆ
DW
-1
4
(-1,0)
(2,4)
0
2
(0,1)
(0,2)
1
0
则DW的范围：0≤DW≤４
cov(ui , u j ) 0 (i j)
有 n 个样本观测值的时间序列，可得回
归函数的随机误差为：u1, u2 ,..., un
若自相关形式为：ut = ut-1 + vt 其中： 为自相关系数
vt 为满足古典线性回归模型的假定
的误差 此式称为一阶自回归模式，记为AR（1）
也称为一阶自相关， 称为一阶自相关