高三第一轮复习课件--直线与方程.ppt

高三第一轮复习：
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角： ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与 直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°. ②倾斜角的范围为 [0 ,180 ) .
2 k
,0)
，
S
1 2
(2 3k)(3
2) k
6
(
9 2
k)
(
2) k
6
9 12
(当且仅当 k 2 时，等号成立)，
3
∴
k
2 时，三角形 3
AOB
面积最小，此时
l
的方程
为 y 2 x 4. 3
考点三 直线的方程的应用
方法点睛: 1.求直线方程较常用的方法是待定系数法．
若题中直线过定点，一般设直线方程的点斜式， 也可以设截距式． 2.注意在利用基本不等式求最值时，斜率k的符号．
谢 谢！
一般式
任何直线
考点一 直线的倾斜角与斜率
[例1]求直线x tan y 1 0( [0, ])的倾斜角
4
的取值范围.
考点一 直线的倾斜角与斜率
[例1]求直线x tan y 1 0( [0, ])的倾斜角
4
的取值范围.
解：当 0时，tan 0，直线方程为 x+1=0，其倾斜角
当 直线 的(斜0, 率4 ]时k ，ttaann(0,11] [1,)
P(4,5)
[1 ,5]
3
变:P(1,5)
(, 5][ 2 ,) 23
考点二 求直线的方程
[例2] 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点A(1,3) ，且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2
倍； (2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等．
(1)经过点A(－1,－3)，且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍
的直线方程.
解：由已知，设直线y＝3x的倾斜角为α，
则所求的直线的倾斜角为 2α ∵tanα＝3，∴tan2α＝1－2tatannα2α＝－34. 又直线经过点A(－ 1, － 3)， 因此所求的直线方程为 y+3=－34(x+1) 即3x＋4y＋15＝0.
(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
知识梳理
(2)直线的斜率： ①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，
斜率常用小写字母k表示，即 k ，tan倾斜角是90°的直
线斜率不存在． 判断下列命题是否正确？
1.任意一条直线有唯一的倾斜角，也有唯一的斜率； 2.两直线的斜率相等，则它们的倾斜角也相等； 3.两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； 4.倾斜角越大的直线斜率越大； 5.斜率越大的直线倾斜角越大.
(0 a 2)与两坐标轴的正半轴围成四边形，当a为何值 时，围成的四边形面积最小？并求最小值.
本节小结：
（一）
直线的倾斜角与斜率的关系：斜率 k 是一个实数， 当倾斜角 α≠90°时，k＝tanα．直线都有倾斜角，但并 不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 90°的直线无斜 率．求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想．当 直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时， 需根据正切函数 y＝tanx 的单调性求 k 的范围，数形结 合是解析几何中的重要方法．
知识梳理
(2)直线的斜率： ①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，
斜率常用小写字母k表示，即 k ，tan倾斜角是90°的直
线斜率不存在．
请区分右图中直线l1,，l2，l3的 倾斜角和斜率的大小.
y l1
l2
O
x l3
知识梳理
(2)直线的斜率： ①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，
于A、B两点，求l在两轴上的截距之和最小值及此时直线l
的方程．
(5 2 6 ; l : y 6 x 6 2) 3
变：求三角形AOB面积最小值及此时直线l的方程．
解：设 l 的斜率为 k(k＜0)，则 l 的方程为 y 2 k(x 3，)
令
x＝0
得
B(0,2－3k)，令
y＝0
得
A(3
解：设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a， 则设直线 l 的方程为ax＋ay＝1，
∵直线 l 过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5， ∴直线 l 的方程为 x＋y－5＝0， 综上可知，直线 l 的方程为 x＋y－5＝0.
？
(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 解：设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，
若 a＝0，即直线 l 过点(0,0)和(3,2)， ∴直线 l 的方程为 y＝23x，即 2x－3y＝0. 若 a≠0，则设直线 l 的方程为ax＋ay＝1， ∵直线 l 过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5， ∴直线 l 的方程为 x＋y－5＝0， 综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
斜截式 在y 轴上的截距为b, 斜率为k
y kx b
两点式
过P1（x1, y1),P2（x2,y2)
(x1≠x2,y1≠ y2)
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
截距式 在 y 轴上的截距为b, 在 x 轴上的截距为a
x y 1 ab
k存在
k存在 且k 0
k存在且k 0 且不过原点
知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角： ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与 直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°. ②倾斜角的范围为[0 ,180 ) .
例：直线 l 过原点，其倾斜角为 ，将直线 l 绕原点沿逆时 针方向旋转 60，得到直线 l1，则直线 l1的倾斜角 为 60.
知识点小结（二) 求直线方程的方法： 1.直接法：选择恰当形式的直线方程，直接求得； 2.待定系数法：设直线方程，再由待定系数法求得. 注意： ①求直线方程时，斜率是否存在需要分类讨论． ②在用直线方程的截距式时，应先判断截距是否为0， 若不确定，则需分类讨论.
考点三 直线的方程的应用
[例3]已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交
知识梳理
(2)直线的斜率： ①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，
斜率常用小写字母k表示，即 k ，tan倾斜角是90°的直
线斜率不存在． 判断下列命题是否正确？
1.任意一条直线有唯一的倾斜角，也有唯一的斜率；×
2.两直线的斜率相等，则它们的倾斜角也相等；√
3.两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；× 4.倾斜角越大的直线斜率越大；× 5.斜率越大的直线倾斜角越大. ×
斜率常用小写字母k表示，即 k ，tan倾斜角是90°的直
线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式
为
Fra Baidu bibliotek
k＝
y2－y1 x2－x1
.
2.直线方程的形式：
形式
条件
方程
应用范围
点斜式 过点( x0,y0),斜率为k y y0 k ( x x0 ) k存在
本节小结：
（二）
在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形 式，并注意各种形式的适用条件：用斜截式及点斜式 时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标 轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过 原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分 类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考 虑斜率不存在的情况．
练习
1.已知
α∈[6
,
2
]，求直线
2xcosα＋3y＋1＝0
的倾斜角的
取值范围．
2.直线l经过点A (1,3)，且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的
1 2 ，求直线l的方程；
3.当直线 y＝kx 与曲线 y＝|x|－|x－2|有 3 个公共点时，求
实数 k 的取值范围. 4.已知直线l1 : ax 2 y 2a 4，l2 : 2x a2 y 2a2 4
tan
.
θ= 2
可知 [ , )
42
综上可知，θ
的取值范围为 [
,
]
.
42
知识点小结（一） 求倾斜角或者倾斜角取值范围的一般步骤：
1.（1）求出直线斜率k或其取值范围．
（2）利用正切函数的图像确定倾斜角取值范围． 2.求解过程中应注意斜率是否存在．
考点一 直线的倾斜角与斜率
变式训练:已知直线l过点P(4,5)，且与以A(－2,3)，B(3,0)为 端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．