微分方程的概念

一
、
微
分 如：以下方程1，2，4是二阶，3是一阶。
方
程 的
(1)y4y3y1
概
念 (2)y24y30
(3)dycosxdx
(4)
d2y dx 2
1
x
2020/6/9
10
一
、
微 分
例2：指出下列微分方程的阶数。
方 程
(1)x2dx2ydy0
一阶
的 概
(2)yy3ex0
二阶
百度文库
念 (3)dy 2y dx 一阶
的
概 念
例:验证 x2 y2 c 是 y x 的通解 y
对 x2 y2 c用隐函数求导法得:
y
x y
故 x2 y2 c是方程的解, 且含有一个任意常数.
通解
例 1 验证函数 y C1ex C2e2x ( C1,C2为任意常数) 为二阶微分方程 y 3y 2y 0的通解，并求该方程满
所以， y C1ex +C2 e2x 是微分方程的解．又因为这个解 中有两个独立的任意常数，与方程的阶数相同，所以它
是微分方程的通解．
例 1 验证函数 y C1ex C2e2x( C1,C2为任意常数)
为二阶微分方程 y 3y 2y 0的通解，并求该方程满
足初始条件 y(0) 0, y(0) 1的特解． 由初始条件 y(0)0代入 yC 1 exC 2e2x, 得C 1 C 2 0 由初始条件 y(0)1代入 yC 1ex2C 2e2x, 得C 1 2 C 2 1 . 则 C1 1 C2 1 于是，满足所给初始条件的特解为 yexe2x
yy x
y2xy3yex
dy 6 y xy2 dx x
yxyy2
一
、
微 分
(三). 分类
方 分类1:按自变量的个数分
程
的 概
常微分方程.
念
y x
dy xy dx
偏微分方程.
z x y x
本章内容
一
、
微 分
例1：下列方程中，哪些是微分方程？哪些不是？
方
程 的
(1)y4y3y1
概
念 (2)y24y30
概 否则为非线性微分方程。 念
yxy3yex y2xy3yex
练习：
一
、 微
（四）、主要问题————求方程的解
分 微分方程的解：
方 程
将函数 y=y(x) 代入方程后使方程恒等,则称之.
的 概
如： y 2 x 方程中
念 y x 2 , y x2 1, y x2 C
都是方程的解
一
、 （四）、主要问题————求方程的解
2020/6/9
一
、 微
练习：验证解，并判断是通解还是特解？
分 方
( 1 ) ( x 2 y ) y 2 x y ,x 2 x y y 2 0
程 的 概 念
(2 )y y e x ,y C 1 s in x C 2c o sx 1 2 e x ( 3 )y 2 y y 0 ,y e x e x
y0 , y0 .
一
、
微 分 方 程
例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等
于该点的横坐标,求此曲线方程.
初始条件
的 概
设曲线方程为 y = y(x), 则 yx, y|x01
念
yxd
xx2 2
c
一阶线性 微分方程
c 1
x2 y 1
2
通解
特解
一
、
微 分
4. 几何意义:
方 程
通解 积分曲线族 特解 积分曲线
100x
(4 )x y 5 y 3 x y c o s2x三阶
一
、
微 分
例2：指出下列微分方程的阶数。
方 程
(5)xdxy2dy0 一阶
的 概
(6)y8y4x41 二阶
念
(7)yey x2
一阶
(8)y3yx2y1 二阶
一
、 微
（三）. 分类
分 方
分类3.线性与非线性方程：
程 当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂 的 (不含乘积)时，微分方程就称为线性微分方程.
yxd
x
x2 2
c
小结
• 微分方程：含有未知函数的导数或微分 • 分类：一元/多元、阶、（非）线性 • 解：通解（含C，且个数和阶数相同）
特解，不含C，将初始条件代入通解得 出。
一
、 (二). 概念
微 分 1. 微分方程: 含有未知函数的导数或微分的方程.
方 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数
程 的 概
(或微分)之间的关系式.
如上例中的： y x
dy xy dx
z x y x
念 yxy3yex (t2x)dtxdx0
dy2xdx0 (yxy)dxx2dy0
方
用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为
程
确定通解中任意常数的条件
的 概
初始条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解;
念 如： y 2 可以确定 y x2 C 中的C x 1
一阶常微方程的初始条件为 y(x0 ) y0,其中
x0， y0 是两个已知数.
二阶微分方程的初始条件为
y(x0 ) y(x0 )
x2 y2 1 x是自变量，y=y(x)
x2y2z2 1 x,y是自变量，z=z(x,y)
一
、
微 （一）.实例
分
方 例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等
程 于该点的横坐标,求此曲线方程.
的 概
设曲线方程为 y = y(x), 则 yx, y|x01
念
yxd
x
x2 2
c
c 1
y x2 1 2
一
、 微分方程解的分类：
微 分
（2）特解：
方
确定了通解中任意常数的解。
程 的
y 2 x 方程中
概 念
y x 2 , y x2 1, 都是方程的特解。
问： y x2 1, y x2 C 两者有关系吗？
若给出：y x 1 2 可以代入得出。
一
、 微分方程解的分类：
微 分 （3）初始条件:
微 分 微分方程解的分类：
必须独立
方 （1）通解：
程 的
y
如果解中含有任意常数C,且个数与阶数相同
概 念
n阶方程通解一般形式: yy(x,c1,c2,,cn)
例如： y y 通解 y C e x
y y 0 通解 yC 1sinxC 2cosx
若： yx2 C1 12C2
y x2 C
此解若为通解，只可能是一阶微分方程的通解。
第七章 微分方程
§7.1微分方程的概念
x32x10 3 x12 代数方程
x1什么x是方程？
sinxcosx1
超越方程
x1lnx
上述方程的共同点
作为未知而要求的是一个或几个个特定 的值（称为方程的根或解）
体会到方程论对解决实际问题的作用
设未知量
列方程
求解方程
高等数学中方程的推广
作为未知而要求的不再仅是一个或几个 个特定的值，而是一个函数（称为方程 的根或解）
足初始条件 y(0) 0, y(0) 1的特解． 解：yC 1 exC 2e2x, yC 1ex2C 2e2x, yC 1ex4C 2e2x,
将 y, y, y代入方程 y 3y 2y 0左端，得
C 1 e x 4 C 2 e 2 x 3 ( C 1 e x 2 C 2 e 2 x ) 2 ( C 1 e x C 2 e 2 x ) ( C 1 3 C 1 2 C 1 ) e x ( 4 C 2 6 C 2 2 C 2 ) e 2 x 0
(3)dycosxdx
(4)
d2y dx 2
1
x
一
、
微 （三）. 分类
分
方 分类2:微分方程的阶
程 的
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，
概 称为微分方程的阶.
念 通常，n 阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y, , y(n)) = 0，
其中 x 是自变量， y 是未知函数，F(x, y, y, , y(n)) 是已知函数，而且一定含有 y(n).
( 4 )y 4 y 0 ,y c o s 2 x
(5 )x y (1 x )y ,y C x e x
(6 )x y (1 x )y ,y x e x C
一
、
微 思考： 怎么解微分方程？
分
方
微分方程的初等解法：初等积分法
程
的
求解微分方程
求积分
概
念
（通解可用初等函数或积分表示出来。）
如引例中 y x
例 2 验证函数 y = 3e – x – xe – x 是方程
的解.
y + 2y + y = 0
解 求 y = 3e – x – xe – x 的导数， 得
y = - 4e – x + xe - x, y = 5e – x - xe - x,
将 y，y 及 y 代入原方程的左边，有 (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程，所以该函数是 所给二阶微分方程的解.