《二次函数的图像和性质》第三课时教案

5.4二次函数的图像和性质(3)

教材分析：

本节课是在学习了二次函数y=ax 2+k,y=a(x-h)2的图象和性质的基础上的再一次提高和升华，是在探索抛物线y=ax 2+k,y=a(x-h)2与y=ax 2的关系基础上，进一步讨论更一般的二次函数y=a(x-h)2+k 的性质，在本章中起到承前启后的作用．

教学设想：

在本节中，要让学生充分的参与到课堂学习中来，让学生成为学习的主人，鼓励学生自己动手，大胆猜想，敢于归纳，由此培养学生的归纳能力与逻辑思维能力． 教学目标：

知识与技能：1．正确理解经过x 轴与y 轴的平移，可由抛物线y=ax 2得到y=a(x-h)2+k ．

2．理解二次函数y=a(x-h)2+k 图象和性质，并能够利用性质解决相关问题．

过程与方法：经历探索抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax 2的关系的过程，发展学生学习数学中的转

换、化归思维方法，体会平移知识在二次函数中的应用.

情感态度和价值观：在合作探索、自主学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、

创造性和趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心．

教学重难点：

重点：抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax 2的关系及二次函数y=a(x-h)2+k 的性质.

难点：应用抛物线y=a(x-h)2+k 的性质解决相关问题.

课前准备

教具准备 教师准备PPT 课件

课时安排：4课时

教学过程：

知识回顾：

（1）抛物线 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？

（2）抛物线 与抛物线

有什么关系？ 可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x 轴垂直的直线，我们把它记为x =－1，顶点是（－1，0）；抛物线 的开口向_____，对称轴是___________，顶点是_____________．

可以发现，把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线 ；把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线 ． 【设计意图】：

通过对二次函数y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的图象、开口方向、对称轴和顶点坐标以及

相互关系的回顾，为引入本节课的教学做好准备.

合作探究: 二次函数y=a(x-h)²+k 的图象

221,1y x y x =+=-221,1y x y x =+=-2y x =()2112y x =-+()2112y x =--212y x =-()2112y x =-+212y x =-()

2112y x =--

画出函数 的图象， 解：(1)作函数 的图象： (2)指出它的开口方向、对称轴及顶点．

抛物线 的开口方向向下、对称轴是 x =－1，顶点是（－1，－1）． (3)抛物线 经过怎样的变换可以得到抛物线 向下平移1个单位，再身左平移1个单位，得到的． 归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 与y =ax ²的关系

一般地,由y =ax ²的图象便可得到二次函数y =a (x -h )²+k 的图象:y =a (x -h )²+k (a ≠0) 的图象可以看成y =ax ²的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.

因此,二次函数y=a(x-h)²+k 的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k 的值有关.

归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 的性质

归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 与y =ax ²的区别与联系

1．相同点:

(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).

(2)都是轴对称图形.

(3)都有最(大或小)值.

(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而减小,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而增大,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而减小.

2．不同点:

(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).

(2)对称轴不同:分别是直线x= h 和y 轴.

(3)最值不同:分别是k 和0.

3．联系: y=a(x-h)²+k(a ≠0) 的图象可以看成y=ax ²的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.

【设计意图】：

对相应的问题组织学生自己独立完成，然后小组讨论得出结论.

例题讲解：

例1:试讨论二次函数 的性质 解:由函数 的表达式可知，它有以下性质 ()21112

y x =-

+-()21112y x =-+-212

y x =-()2

1112y x =-+-()522y =-x +3-2()522y =-x +3-2

（1）图象是抛物线

(2)对称轴为直线x=-3

（3）顶点是图象的最高点，坐标为(-3,-2)

(4)当x<-3时，函数值随x的增大而增大；当x>-3时，函数值随x的增大而减小.

【设计意图】：

通过例题讲解引导学生再一次经历探索过程，有助于对那点的突破，同时激发学生思维的宽度与广度.

当堂检测：

1．说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：

（1）y =2( x+3)2+5; （2）y = －3(x－1)2－2;

（3）y = 4(x－3)2+7; （4）y = －5(x+2)2－6.

解:（1）a =2>0开口向上,对称轴为x=－3,顶点坐标为(-3,5)

（2）a =－3<0开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标为（1,－2）

（3）a =4>0开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3,7）

（4）a =－5<0开口向下,对称轴为x=－2,顶点坐标为(-2,-6).

课堂小结:

本节课学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

作业:

课本 P.38第1,2题

板书设计:

5.4二次函数的图像和性质(3)

知识回顾：

合作探究：二次函数y=a(x-h)²+k的图象

归纳：二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系

归纳：二次函数y=a(x-h)²+k的性质

归纳：二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的区别与联系

例1