电工学-第3章交流电路

[解]
(1) 采用相量运算
(2) 相量图
I1m = 20 60 A I2m = 10 – 45 A Im= I1m+ I2m
= 19.9 30.9 A i = Im sin(ωt +ψ)
= 19.9 sin(ωt + 30.9 ) A
+j
I1m
Im
60° 30.9°
O 45°
+1
I2m
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= c e jψ =c ψ
10
辐角
代数式 三角式 指数式 极坐标式
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11
第 3
章 二、复数的运算方法
交 复数的运算：加、减、乘、除法。
流
电 路
设： A1 = a1＋j b1 = c1 ψ1 A2 = a2＋j b2 = c2 ψ2 ≠０
加、减法：A1±A2 = (a1±a2) + j (b1±b2)
+i
+
R uR
+
uL
uL
+ C uC
复数阻抗: Z
Z = R + j (XL－XC) = R + j X =√R2 + X2 arctan (X / R)
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27
第
3
章 阻抗:│Z│=√ R2 + X2
交 流
=U/I
阻抗角: = arctan (X / R)
电 路
=ψu－ψi 相量图: U = UR + UL + UC
电工技术
电工学-第3章交流电路
2
第
3
章
3.1 正弦交流电的基本概念
交
流 交流电: 大小和方向都周期性变化、在一个周期
电 路
上的函数平均值为零。 正弦交流电: 按正弦规律变化的交流电。
i
i = Imsin(ωt +ψ)
Im
瞬时值最大值
角频 率
初相位
O
ωt
ψ
最大值
角频率 正弦交流电的三要素
初相位
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= 125
f
=
2
XL L
= 100 Hz
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26
第
3
章
3.4 串联交流电路
交 流
一、R、L、C 串联电路
电 路
根据KVL u = uR + uL + uC
U = UR + UL + UC
= RI + j XLI－j XC I =[R + j ( XL－XC )]I
=[R + j ( XL－XC )]I
结论：纯电感不消耗能量，
O
2
3 2 2
取用发出取用发出
ωt
只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。
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25
第
3
章
[例3.3.3] 有一电感器,电阻可忽略不计,电感 L =
0.2 H。把它接到 220 V工频交流电源上工作，求电感的
交 流 电
电流和无功功率？若改接到 100 V 的另一交流电源上，
14
第
3
章
(3) 因为 i1 + i2 的初相位不同，故最大值和有效
值之间不能代数相加。
交 流 电 路
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15
第
3
章
[例 3.2.2] 已知 u1 和 u2 的有效值分别为U1 = 100 V，
交 流 电 路
U2 = 60 V，u1 超前于 u2 60º，求： (1) 总电压 u = u1 + u2
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7
第 3
章 三、交流电的相位、初相位、相位差
交
i = 10 sin（1 000 t + 30°）A
流 电
u = 311sin（314 t－60°）V
路
相位: ωt + ψ
初相位:ψi = 30° , ψu =－60°
相位 初相位
相位差: 同频率的正弦电量的初相位之差。
i = 100 sin（314 t + 30）A u = 311sin（314 t－60）V
+j
j I1
I
ψ1
O
+1
j I1
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13
第
3
章
[例 3.2.1] 已知 i1 = 20 sin (ωt + 60º) A， i2 = 10 sin
交 流 电 路
(ωt－45º) A 。两者相加的总电流为i ，即i = i1 + i2 。
(1) 求 i 的数学表达式；(2) 画出相量图； (3) 说明 i 的 最大值是否等于 i1 和 i2 的最大值之和， i 的有效值是否 等于 i1 和 i2 的有效值之和，并说明为什么。
(2) 1 =ψ –ψ1= – 21.79 – 0 = – 21.79
2 =ψ –ψ2 = – 21.79 – ( – 60 ) = 38.21
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16
第
3
章
3.3 单一参数交流电路
交 流
一、 纯电阻电路
电 路
1. 电压、电流的关系 (1) 波形图
ui
(2) 大小关系 U= R I
测得电流为 0.8 A，此电源的频率是多少？
路
[解] (1) 接到 220 V工频交流电源时
XL = 2πf L = 62.8
I=
U XL
=
220 62.8
A = 3.5 A
Q = U I = 220×3.5 var = 770 var
(2) 接到100 V 交流电源时
XL=
U I
=
100 0.8
(2)
大小关系:
Um=
1 ωC
Im
U=
1 ωC
I
容抗 :
XC =
1 ωC
U = XC I
(3) 相位关系: ψu = ψi - 90° (4) 相量关系: U = j XL I
ui
(5) 波形图:
O
wt
(6) 相量图: 如 U = U 0
90°
则 I = I 90
I
U
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20
第 3
乘法: 除法：
A1 A2 = c1 c2 ψ1＋ψ2
A1 A2
=
c1 c2
ψ1－ψ2
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12
第 3
章 由于： e±j90 = 1 ±90 =±j
交则
流 电 路
j I = I e j90 = I ejψ ·ej90 = I e j(ψ + 90 ) －j I = I e j90 = I ejψ·e j90 = I ej(ψ 90 )
UC UL
U
＝0
90＜ ＜90
电路呈阻性
电路呈容性
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29
第
3
章
[例 3.4.1] 已知 U = 12 V， R = 3 ，XL = 4 。 求：
交 流 电
1 XC 为何值时（ XC≠ 0 ），开关 S 闭合前后，电流 I 的有效值不变。这时的电流是多少？ 2 XC 为何值时， 开关 S 闭合前电流 I 最大，这时的电流是多少？
f
=
1 T
角频率ω ： 正弦量 1s 内变化的弧度数。
ω = 2πf
=
2π T
(rad/s)
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5
第
3
章
常见的频率值
交 流
各国电网频率：中国和欧洲国家 50 Hz，
电 路
美国 、日本 60 Hz
有线通信频率：300 ~ 5 000 Hz；
无线通信频率：30 kHz ~ 3×104 MHz ； 高频加热设备频率：200 ~ 300 kHz。
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22
第
3
章
(3) C = C1 + C2 = 94 F
交 流 电 路
XC
=
1 2 f C
= 1.69
I=
U XC
=
20 1.69
A=
11.83 A
Q = U I = 10×11.83 var = 118.3 var
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23
第 3
章 三、纯电感电路
交 1.电压、电流的关系
的电流和无功功率又是多少？
[解] (1) Um =√2 U = 1.414×20 V = 28.8 V
故不可以接到 20 V 的交流电上。
(2) C = XC =
C1 C2
C1
+ 1
C2
2πf C
= =
23.5 F 135.5
所以: I =
U XC
=
20 135.5
A=
0.15
A
Q = U I = 20×0.15 var = 3 var
章
[例 3.3.2] 今有一只 47 F 的额定电压为 20 V 的无
极性电容器，试问：(1) 能否接到 20 V 的交流电源上工
交 流 电
作；(2) 将两只这样的电容器串联后接于工频 20 V 的交 流电源上，电路的电流和无功功率是多少？(3) 将两只
路 这样的电容器并联后接于1 000 Hz 的交流电源上，电路
路 [解] 1 开关闭合前后电流 I 有效值不变，则开关闭合
I
R
＋
＋ UR
＋
前后电路的阻抗模相等。
U
UC
S
R2 + (XL XC )2 = R2 + XL2
P=
1 T
∫
p0T
dt
= U I (W)
p≥0 —— 耗能元件。
p 与 u2 和 i2 成比例。
17
ωt
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18
第
3
章
[例 3.3.1] 一只电熨斗的额定电压 UN = 220 V，额定
交
功率 PN = 500 W，把它接到 220 V 的工频交流电源上工 作。求电熨斗这时的电流和电阻值。如果连续使用 1 h ，
O
ωt
Um = R Im (3) 相量关系：U = R I
如 ：U = U 0 则：I=I 0
I
U
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第 3
章 2.功率关系
交 (1) 瞬时功率
p iu
流 电 路
p = ui = Um sinωt Im sinωt
= Um Im sin2ωt
P
= U I (1－cos2ωt)
O
(2) 平均功率 (有功功率):
章 2.功率关系
交 (1) 瞬时功率:
流
电
p = U I sin 2wt
路
p＞0 电容储存电场能量(电能→电场能量)
p＜0 电容释放电场能量(电场能量→电能)
(2) 平均功率(有功功率)
P= 0
(3) 无功功率:
Q = U I = XC I 2 =
U2 XC
(var)
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第
3
交 流
(a) 旋转矢量 +j
(b) 正弦交流电
电
ω
路
ωt1
ωt2
ψ
O
O
+1
ψ
ωt
正弦交流电可以用 一个固定矢量表示
最大值相量 Im
有效值相量 I
ωt1
ωt2 +j
Im
I ψ
+1 O
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第
3 章
一、复数的表示方法
+j
交 流
b
p
电
路
ψ
模
O
a +1
Op = a + j b
= c (cosψ + j sinψ )
的有效值并画出相量图； (2) 总电压 u 与 u1 及 u2 的相位
差。
[解] (1) 选 u1为参考相量
ψ ψ2
1 =ψ –ψ1
U1
U1= 100 0 A U2 = 60 – 60 A U = U1 + U2
2 =ψ –ψ2
U2 ψ2 = 60
U
相量图
=（100 0 + 60 – 60 ）V = 140 – 21.79 V
流 (1) 频率关系: 同频率的正弦量;
电
路 (2) 大小关系: Um =ωL Im
U =ωL I
感抗 : XL =ωL = U / I U = XL I
(3) 相位关系: ψu = ψi + 90°
ui
(4) 相量关系：U = j XL I
(5) 波形图:
O
ωt
90°
(6) 相量图：如 ： I = I 0 则：U = U 90
U
I
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24
第
3
章 2.功率关系
交 流
(1) 瞬时功率 p=ui
电 路
= Umcosωt Im sinωt = U I sin 2ωt
(2) 平均功率 ( 有功功率)
P=
1 T
∫
T
p0dt
=0
(3) 无功功率
ui
O
ωt
2
3 2
p
2
Q = U I = XLI2
=
U2 XL
(var)
UL UC
电压三角形 U
+i
+
R
uR
+
uL
uL
+
C
uC
│Z│
UX = UL + UC 阻抗三角形
X
U =│Z│I
UC
R
UR I
0＜ ＜ 90°
UR = R I
感性电路
UX = X I = (XL XＣ) I
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第 3 章
交
UL UC
UL
流
电
路
UC
U
UR
I
UR
I
UX= UL+ UC
3
第 3
章 正弦交流电的波形:
i
交
流
电
路
O
ψ = 0°
i 0＜ψ＜180°
ωt
O
ψ
ωt
i －180°＜ψ ＜ 0°
i
ψ = ±180°
O ψ
ωt
O
ωt
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4
第 3
章 一、交流电的周期、频率、角频率
i
交
流
2π
电
路
O
ωt
T
周期 T ：变化一周所需要的时间（s）。
频率 f ：1s 内变化的周数（Hz）。
流 电
它所消耗的电能是多少？
路
[解]
IN =
PN UN
=
500 220
A= 2.27 A
R=
UN IN
=
220 2.27
= 96.9
WBaidu Nhomakorabea= PN t = （500×1）W·h= 0.5 kW·h
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第 3
章 二、纯电容电路
交 1. 电压、电流的关系
流 电 路
(1) 频率关系：同频率的正弦量;
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6
第
3 章
二、交流电瞬时值、最大值、有效值
交
e、i、u
流 电
Em、Im、Um
路
E、I、U
瞬时值 最大值 有效值
IR
i
R
Wd = RI2T
Wa =∫ R0T i2 dt
如果热效应相当，Wd = Wa ，则 I 是 i 的有效值。
正弦电量的有效值：
I
=
Im √2
U =√2Um E =√2Em
=ψu －ψi = －60－30 =－90
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第
3
章
iu
0＜ ＜180°
iu
－180°＜ ＜ 0°
交
流
电 路
O
ωt
O
ωt
u 超前于 i
u 滞后于 i
iu
= 0°
iu
= ±180°
O
ωt
O
ωt
u 与 i 同相位
u 与 i 反相
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9
第
3
章
3.2 正弦交流电的相量表示法