高考数学真题专题十 计数原理第三十一讲 二项式定理答案

x x

5 5 5 n n 专题十 计数原理

第三十一讲

二项

式定理答案部分 1.

C 【解析】T = r 2 5-r

2 r = C r 2r x 10-3r ，由10 - 3r = 4 ，得 r = 2 ，所以 x 4

的系

r +1

C 5 (x ) ( ) x 5

数为C 2 ⨯ 22

= 40 ．故选 C ．

2. C 【解析】(1+

1 )(1+ x )6 展开式中含 x

2 的项为1⋅C 2 x 2 +

1 ⋅C 4 x 4 = 30x

2 ，故 x 2 前系

x

2 数为 30，选 C ．

3. C 【解析】(2x - y )5

的展开式的通项公式为： T

6 x

2 6

= C r (2x )5-r (-y )r ，

r +1

5

当 r = 3 时， x (2x - y )5 展开式中 x 3 y 3

的系数为C 3

⨯ 22 ⨯(-1)3 = -40 ，

当 r = 2 时， y (2x - y )5 展开式中 x 3 y 3 的系数为C 2 ⨯ 23 ⨯(-1)2

= 80 ，

所以 x 3 y 3

的系数为80 - 40 = 40 ．选C ． 4．A 【解析】通项T

= C r x 6-r i r (r = 0,1, 2,⋅⋅⋅,6) ，令 r = 2 ，得含 x 4 的项为C 2 x 4i 2 = -15x 4 ，

r +1

6

6

故选A ．

5．D 【解析】因为(1+ x )n 的展开式中的第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以C 3 = C 7 ，

解得n = 10 ，所以二项式(1 + x )10

的展开式中奇数项的二项式系数和为 1

⨯ 210 = 29

．

2

6．C 【解析】由(x +1)n

= (1+ x )n

= 1+ C 1

x + C 2 x 2

+⋅⋅⋅+ C n x n

，知C 2

= 15 ，

n

n

n

n

∴

n (n -1)

= 15 ，解得n = 6 或n = -5 (舍去)，故选 C ． 2

7．D 【解析】T 5 -r

= C r

(-1)r a r x

2 ，令

r = 1 ，可得-5a = 30 ⇒ a = -6 ，故选 D ．

r +1

5

8．C 【解析】由题意知 f (3, 0) = C 3

C 0

， f (2,1) = C 2

C 1

， f (1, 2) = C 1

C 2

， f (0,3) = C 0

C 3

，

6 4

6 4

6 4

6 4

因此 f (3, 0) + f (2,1) + f (1, 2) + f (0,3) =120 ．

9. A 【解析】由二项展开式的通项可得，第四项T =

3

1

2 -2 y )

3 = -20x 2 y 3 ，故 x 2 y 3

的系数为－20，选 A ．

1

4

n - 5 r C 5 ( 2

x ) (

5

10.

B 【解析】通项

C r (3x )

n -r

( )r

= C r 3n -r x

2

，常数项满足条件n = r ，所以r = 2

n

n

2

2 x x

5 5 5 C ( ) x 8

3 2 5 时 n = 5 最小． 11．C 【解析】T

= C r (x 2 )5-r (- 2

)r = (-2)r C r x 10-5r ，令10 - 5r = 0 ，解得

r = 2 ，所 r +1 5 x 3

5

以常数项为(-2)2 C 2

= 40 ．

12．D 【解析】第一个因式取 x 2

，第二个因式取 1

x

2

得：1⨯C 1(-1)4 = 5 ，第一个因式取2 ，

第二个因式取(-1)5

得： 2 ⨯ (-1)5 = -2 展开式的常数项是5 + (-2) = 3 ．

13．D 【解析】∵ T =C r (2x 2 )5-r ⋅( - x -1)r = 25-r ( -1)r C r x 10-3r ，∴10 - 3r =1，即r =3 ，

r +1

5

5

∴ x 的系数为-40 ．

14. B 【解析】(1+ 2x )5 的展开式中含 x 2 的系数等于C 2 (2x )2 = 40x 2

，系数为 40.答案选 B ． 15.

C 【解析】T = C r (4x )6-r (2- x )r = C r ⋅ 22x (6-r ) ⋅ 2- xr = C r ⋅ 212x -3xr ，

r +1 6 6 6 令12x - 3xr = 0 ，则r = 4 ，所以T = C 4

=15 ，故选 C ．

5

6 5

1

5-

3r 1 3

16.

16．

【解析】T

= C r x

5-r

(-

)r = C r

x

2

(- )r ，令5 - r = 2 ，得r = 2 ，

2

r +1

5

5

2

2

所以 x 2 的系数为C 2

(- 1)2 = 5 ．

5

2 2

17．7【解析】T

8-r = C r x 3

( 1 )r = r 1 r

8-4r 3

8 - 4r ，令 = 0 ，解得 r = 2 ，所以所求 r +1 8

2x 8

2

3

常数项为C 2 ⨯ (1)2 = 7 ． 2

18．16,4【解析】将(x +1)3 (x + 2)2 变换为(1+ x )3 (2 + x )2 ，则其通项为C r 13-r x r C m 2

2-m x m

， 取 r = 0, m = 1和r = 1, m = 0 可得，

a = C 0C 1 ⨯ 2 + C 1C 0 ⨯ 22 = 4 +12 =16 ，令 x = 0 ，得a = 4 ．

4

3 2

3 2

5

19．4【解析】Τ

= C r (3x )r

= C r ⋅3r ⋅ x r ，令r = 2 得： C 2 ⋅32 = 54 ，解得n = 4 ．

r +1

n

n

n

1 10- 5 r 5 20． -

2 【解析】因为T = C r (ax 2 )5-r ( )r = C r a 5-r x 2 ，所以由10 - r = 5 ⇒ r = 2 ，

r +1 5 5

2 因此C 2 a

5-2

= -80 ⇒ a = -2. 5- r r

21．10【解析】由(2x + x

)5 得T = C r (2x )5-r

( x )r

= 25-r

C r x 2

，令5 - = 3得r = 4 ，

r +1

5

5

2