14函数定义域几种类型及其求法

函数定义域几种类型及其求法

基本函数的定义域的类型

(1) 分式分母不为零;

(2)偶次方根的被开方数大于或等于零;

(3)对数的真数大于零;(4)底数大于零且不等于1;

(5)零次或负次指数次幂的底数不为零;

(6)正切函教tanx 的定义域为{x|x ≠k π+

2

π

，,k ∈Z} 一、已知函数解析式型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1、（2013江西）函数

)1ln(x x y -=的定义域为（ ）

A.)10(，

B.)10[，

C.]10(，

D.]10[， 2.(2015

湖

北

)

函

数

3

65lg ||-42-+-+=x x x x y 的定义域为（ ）

A.)32(，

B.]42(，

C.]4,3)32(（，

D.)6,3)31-(（， 练习：（2009江西）函数4

3)1ln(2+--+=x x x y 的定义域为（ ）

A.)1-4-(，

B.)14-(，

C.)11-(，

D.]11-(， 二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。

（一）已知)(x f 的定义域，求[])(x g f 的定义域。

其解法是：已知)(x f 的定义域是],[b a 求

[])(x g f 的定义域是解b x g a ≤≤)(，即为

所求的定义域。

例2、已知)(x f 的定义域为]2,2[-， 求)1(2

-x f 的定义域。

解：22≤≤-x ，

2122

≤-≤-∴x ，解得33≤

≤-x ,

即函数)1(2

-x f 的定义域为

{}33≤≤-x x

（二）已知[])(x g f 的定义域，求)(x f 的定

义域。

其解法是：已知[])(x g f 的定义域是

],[b a 求)(x f 的定义域的方法是：

b x a ≤≤，求)(x g 的值域，即所求)(x f 的

定义域。

例3、已知)12(+x f 的定义域为]2,1[，求

)(x f 的定义域。

解：21≤≤x ，422≤≤∴x ，

5123≤+≤∴x 。 即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x 。 三、逆向思维型

即已知所给函数的定义域求解析式中参

数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例4、函数862++-=

m mx mx y 的

定义域为R 求实数m 的取值范围。

分析：函数的定义域为R ，表明

0862≥++-m mx mx ，使一切R x ∈都成

立，由2

x 项的系数是m ，所以应分0=m 或

0≠m 进行讨论。

解：讨论：

①当0=m 时，函数的定义域为R ； ②当0≠m 时，0862

≥++-m mx mx 是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是

⎩⎨⎧≤+--=∆>0

)8(4)6(0

2

m m m m

10≤<⇒m

综上可知：10≤≤m 。 评注：不少学生容易忽略0=m 的情况，

希望通过此例解决问题。 例5、已知函数3

47

)(2

+++=

kx kx kx x f 的定义域是R ，求实数k 的取值范围。

解：要使函数有意义，则必须

0342≠++kx kx 恒成立，

因为)(x f 的定义域为R ， 即0342

=++kx kx 无实数解 讨论：

①当0≠k 时，034162

<⨯-=∆k k 恒成立，

解得4

30<

30<

≤k 。 四、实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制.

巩固练习：

1.函数x

x y 2

16-=的定义域为（ ）

A.]44[，-

B.)[4,]4--+∞∞ ，（

C.4],0()0,4-[

D.)[4,]0,4[-+∞ 2.函数)82ln(2

--=x x y 的定义域为（ ） A.)(2,)4--+∞∞ ，（ B.)42(，- C.)(4,2)--+∞∞ ，（ D.)24(，- 3.（2019山东模拟）函数)(x f 的定义域为

]6,3[，求)

2(log )2(y 2

1x x f -=

的定义域为（ ）

A.),23[+∞

B.)2,23[

C.),23(+∞

D.)2,2

1[

4.（2018西南名校联盟）设函数29x y -=的定义域为A,函数)2ln(x y -=的定义域为B ，则B A =( )

A.)32(，

B.]32(，

C.)23(，-

D.)23[，-