线性代数4.1 向量组及其线性组合

的集合称为向量组．
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向量组可能含有有限个向量，也可能含有无限多 个向量．
例如， 一个 m n 矩阵的全体列向量 组成一个含
n 个 m 维列向量的向量组， 它的全体行向量 组成一 个含 m 个 n 维行向量的向量组． 矩阵的列向量组和
行向量组都是含有有限个向量的向量组．反之，一个 含有有限个向量的向量组也可以构成一个矩阵．例如，
能由向量组
A
线性表示，并
求出表示式．
解 设矩阵 A (a1 , a2 , a3) , 矩阵 B A, b,
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先将矩阵 B 化成行阶梯形矩阵
1 1 1 1
B (a1, a2
矩阵 A
,
a3
,
b)


1 2 2
2 1 3
1 4 0
0
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
量用转置符号 aT , bT , αT , βT 等表示．
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例如，若列向量
a1
a


a2
an

,
则，行向量 aT (a1, a2 , , an ) .
注：这里所讨论的向量，在没有指明是行向量还
是列向量时，都指列向量． 由若干个同维数的列向量 或同维数的行向量组成
也可以写成一列，即
a2

.
an
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按第2章矩阵的定义， 它们分别是行矩阵和列矩 阵，也称为行向量和列向量， 且规定行向量和列向量 都可按矩阵的运算法则进行运算． 因此， 用两种不同
形式表示的n 维向量 以后看作是两个不同的向量．
（注：仅按向量定义，它们表示同一个向量）. 在这里，列向量用小写字母 a, b, α, β 等表示，行
k1 a1 k2 a2 kn an
为向量组 A的一个线性组合，k1 , k2 ,, kn 称为这个线
性组合的系数．
对于向量 b , 如果存在一组实数 1 , 2 ,, n , 使 b 1 a1 2 a2 n an ,
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则称向量 b 能由向量组 A 线性表示． 向量 b 能由向量组 A 线性表示，等价于非齐次线
含 n 个 m 维列向量的向量组 A : a1, a2,, an 构成矩阵
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A (a1, a2, , an ) .
因此，含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一 对应.
齐次线性方程组 Amn x 0 , 当 R( A) n 时，它的
全体解向量 组成一个含有无限多个n 维列向量的向量
组 称为n 维向量，其中第 i 个数 ai 称为这个向量的第
i 个分量 (i 1,2 ,, n) .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量为复数的
向量称为复向量．在这里只讨论实向量．
由 a1, a2 ,, an 所组成的 n 维向量可以写成一行，
a1
即 (a1,
a2 ,
,
an ) ,
算，称为向量组 a1 , a2 ,, an 的线性组合，k1 , k2 ,, kn
称为这个线性组合的系数．等式的右端 b 等于这个向
量组的线性组合，称向量 b 能由向量组 a1, a2 ,, an
线性表示．
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一般地，有
定义4.2 设向量组 A : a1 , a2 , , an , 对于任意 一组实数 k1 , k2 ,, kn , 称表达式
4.1 向量组及其线性组合
向量是数学中最基本的概念之一， 它也是线性代 数研究的主要对象，它的理论和方法 已经渗透到自然 科学、工程技术、经济管理等许多领域． 利用向量理 论 我们还可以进一步加深对矩阵和线性方程组内容的 理解．
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定义4.1 由 n 个数 a1, a2 ,, an 所组成的有序数
)

x2
xn


b
,
即
x1a1 x2a2 xnan b .
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若这个方程组有解， 即存在一组实数
x1 k1 , x2 k2 , , xn kn ,
使
k1 a1 k2 a2 kn an b .
这个等式的左端是向量组 a1 , a2 , , an 的线性运

r2 r1 1
~r32r1 0
r4
2
r1
0 0
1 1 1 1
1 2
2 2
~ 1
1
r3 r2
1 0

11
r4
r2

0 0
1 1 0 0
1 2
0 0
1 1
0 0

R(A) R(B) 2 ,
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向量 b 能由向量组 A 线性表示．
再将 B 的行阶梯形化成行最简形：
1 1 1 1 1 0 3 2
B
~r
0 0 0
1 0 0
2 0 0
~ 1 r1r2 0
00

0 0
1 0 0
2 0 0
1 0 0

,
线性方程组 x1a1 x2a2 x3a3 b 的同解方程组：
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1
1
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例4.1
设向量组
A:
a1


1 2 2

,
a2


2 1 3

,
a3


1
4 0

和
1
向量
b


0 3 1

,
证明向量 b
性方程组
x1 a1 x2 a2 xn an b
有解．因此，由定理3.5 可得
定理4.1 向量 b 能由向量组 A : a1, a2 ,, an 线性 表示的充分必要条件是 矩阵 A (a1 , a2 ,, an ) 的秩 等于矩阵 B (a1 , a2 ,, an , b) 的秩．
组． 下面，先讨论含有限个向量的向量组，然后再把
所得到的一些结论 推广到含无限多个向量的向量组上．
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设 n 元非齐次线性方程组 Amn x b , 将系数矩阵 A 按列分块，未知数向量 x 按行分块，则
方程组可表示成如下形式：
x1
(a1,
a2 ,
,
an