载流长直导线的磁场

B 0I 4d
(3)P点位于导线延长线上，B=0
O
d 1
P
2d
B
2. 载流圆线圈轴线上的磁场
设有圆形线圈L，半径为R，通以电流I。
I dl
R
IO
r
d B
dB
Hale Waihona Puke Baidu
x
P d B//
在场点P的磁感强度大小为
dB
0 4
I
d
l
r
r3
载流圆线圈轴线上的磁场
I dl
r
R
IO
x
d B
P
dB
d B//
（2）在远离线圈处 x R, x r
载流线圈 的磁矩
引入
pm
ISen
B 0 IS 0 IS
B
2 0 2
x3 pm r3
2 r 3
3. 载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为R，电流为I，每单位长度有 线圈n匝。
1 r
A1
2
p
dB
R
A2
l dl
载流圆线圈轴线上的磁场
1 r
A1
电子的轨道角动量是满足量子化条件的，在玻尔
理论中，其量值等于（h/2π）d的整数倍。所以
氢原子在基态时，其轨道磁矩为
载流圆线圈轴线上的磁场
B
e 2me
h
2
eh
4me
它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。 将e=1.60210-19 C，me= 9.1110-31kg ， 普朗克常量h= 6.62610-34J·s代入，可算得
L 4 r 2
O
d 1
P
2d
B
0
4
2 I cos d
1 d
0I 4d
sin
2
sin
1
载流长直导线的磁场
B
0I 4d
sin
2
sin
1
考虑三种情况： (1)导线无限长，即
B 0I 2d
1 2
2
2
(2) 导 线 半 无 限 长 ， 场 点 与 一 端
I
dl L
的连线垂直于导线
lr
为dr的圆环作圆电流，电流强度：
d
I
2
q
R 2
2r d r
qr d r R 2
d B 0 d I
2r
B
0q 2R 2
R
dr
0q
0
2R
++++++o++++++++
返回
载流圆线圈轴线上的磁场
例题11-1 亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆 霍兹线圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由 一对相同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的 距离等于它们的半径时，试计算两线圈中心处和轴 线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时 在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。
B 9.273 1024 A m2
原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的 自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量， 电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。
载流圆线圈轴线上的磁场
B
e 2me
h
2
eh
4me
它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。 将e=1.60210-19 C，me= 9.1110-31kg ， 普朗克常量h= 6.62610-34J·s代入，可算得
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
B 0nI / 2
实 际 上 ， L>>R 时，螺线管内部的
0nI
0nI
B
磁场近似均匀，大
2
小为 0nI
A1
O
A2
载流圆线圈轴线上的磁场
例 一个半径R为的塑料薄圆盘，电量+q均匀分布其上，圆
盘以角速度绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动。求
圆盘中心处的磁感应强度。
解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度
d B//
，，由所于以各圆P电点流电元流的的具大磁有小场对为B方称：向性不，相其同电，流可元分的解为逐对d抵B和d消B
B
LdB//
dB sin 0
L
4
L
Id r2
l
sin
0I sin 4r 2
2R
dl
0
0I sin 4r 2
2R
载流圆线圈轴线上的磁场
I dl
r
R
IO
x
d B
dB
1 r
2
p
dB
R A2
又 R2 l 2 R2 csc2
B
L
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
l dl
0 nI 2 sin d
2
1
0
2
nI (cos
2
cos
1 )
载流圆线圈轴线上的磁场
讨论：
B
0nI
2
(cos
2
cos 1)
（1）螺线管无限长 1 , 2 0 B 0nI
2R 2 2
R
两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为
BP
2
2
0 NIR2
R2
R
2
3/
2
80 NI
5 5R
1
1 2 2
2
0.716 0 NI
R
载流圆线圈轴线上的磁场
此外，在P点两侧各R/4处的O1、O2 两点处磁感应强度 都等于
BQ
0 NIR2
2 R 2
R
2
3/2
0 NIR2
P d B//
B
0I sin 4r 2
2R
r2
R2
x 2 , sin
R r
(R2
R
x2
)1 2
B
0 IR 2
2(R2
x
2
)
3 2
0 2
(R2
IS
x
2
)
3 2
S R2
载流圆线圈轴线上的磁场
B
0 IR 2
2(R2
x2
)3 2
0 2
(R2
IS
x2
)3 2
讨论：
（1）在圆心处 x 0
B 0I
2R
B 9.273 1024 A m2
原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的 自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量， 电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。
2
p
dB
R A2
l dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作
Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
d
B
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
B
L dB
L
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
载流圆线圈轴线上的磁场
l R cot d l R csc2 d A1
B
dB
L
0 L 4
I d l sin
r2
I
dl L
lr
O
d 1
P
2d
B
载流长直导线的磁场
B
dB
L
0 L 4
I d l sin
r2
I
由几何关系有：
sin cos r d sec
dl L
l d tan dl d sec2 d l r
B 0 I d l sin
IS ner 2
L mevr me 2rnr 2menr 2 e L
2me
载流圆线圈轴线上的磁场
角动量和磁矩的方向可分
别按右手螺旋规则确定。
L
因为电子运动方向与电流
方向相反，所以L和μ的方
向恰好相反，如图所示。
上式关系写成矢量式为
－ e L
2me
这一经典结论与量子理论导出的结果相符。由于
§11-3 毕奥—萨伐尔定律的应用
1. 载流长直导线的磁场
I
设有长为L的载流直导 线，通有电流I。计算与 导线垂直距离为d的p点 的磁感强度。取Z轴沿载 流导线，如图所示。
dl L
l
O
r
d 1
P
2d
B
载流长直导线的磁场
按毕奥—萨伐尔定律有：
dB
0 4
I
d
l
r
r3
所有dB的方向相同， 所以P点的B的大小为：
2 R2
3R
2
3/2
4
4
0 NI
2R
43 17 3 /
2
43 53
0.712
0 NI
R
载流圆线圈轴线上的磁场
在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介 乎B0、BP 之间。由此可见，在P点附近轴线上的 场强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。 图中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的 场强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加 曲线。
解 设两个线圈的半径为R， 各有N匝，每匝中的电流均 为I，且流向相同（如图）。 两线圈在轴线上各点的场强 方向均沿轴线向右，在圆心 O1、O2处磁感应强度相等， 大小都是
O1 Q1 P Q2 O2
R
R
R
载流圆线圈轴线上的磁场
B0
0 NI
2R
2
0 NIR2
R2 R2 3/2
0 NI 1 1 0.677 0 NI
O1
Q1
P
Q2
O2
载流圆线圈轴线上的磁场
例题11-2 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运 动相当于一个圆电流，具有相应的磁矩，称为轨道磁 矩。试求轨道磁矩μ与轨道角动量L之间的关系，并 计算氢原子在基态时电子的轨道磁矩。
解 为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动，圆的 半径为r，转速为n。电子的运动相当于一个圆电流， 电流的量值为I=ne，圆电流的面积为S=πr2，所以 相应的磁矩为