菱形的性质

A B
O
C
D
A O
D 8。如图，E为菱形ABCD边 BC上一点，且AB=AE，AE交 BD于O，且∠DAE=2∠BAE， 求证：EB=OA； E C
B
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm， ∠BAD＝1200。对角线AC、BD相交于点O， 求这个菱形的对角线长和面积。。 解：∵ ∠BAD＝1200 A ∴∠BAC＝600 又∵ AB ＝B C ∴ △ BAC是等边三角形 ∴ AC ＝ 4cm ∴B O ＝ 2 √ 3 B ∴B D ＝ 4√ 3 1 S AC BD ＝ 8√ 3 2
又∵ AO = AO ∴ △AOD ≌ △AOB 又∵ AC = AC ∴ ∠DOA=∠BOA ∴ △ADC ≌ △ABC 又∵ ∠DOA+∠BOA= 180° ∴ ∠DOA=∠BOA= 90° ∴ ∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA ∴ AC⊥BD
D
边
菱形的两组对边平行且相等
A B
O
C
菱形的四条边相等
平行四边形集合 菱形集合
矩形集合
再 见
E C
5、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角 线BD的长。 D
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 O C
∴AC⊥BD
2 2 2 2
5
2
3
∴ OB AB OA 5 4 9B ∴OB=3 ∴ BD=2OB=6 cm
有关菱形问题可转化为直角三角 形或等腰三角形的问题来解决
C
∠Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有：△ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD Rt△DOA
D O C
D
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm， 3 A 4 O 则菱形的边长是（ ）C A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm 4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD， A E、F分别为BC，CD的中点，那么 ∠EAF的度数是（ ）B B
C
B
D F
A.75°B.60°C.45°D.30°
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长 3cm 是______.
A
D O
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝ _______. C 60度 B 3.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已 有关菱形问题可 知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的 转化为直角三角 长。 形或等腰三角形 4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分 的问题来解决 别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是 A （ B ） A.75°B.60°C.45°D.30° 5.菱形的两 条对角线长 分别为6cm和 8cm，则菱形 的边长是 （5 ）
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
?
相等的线段：
已知四边形ABCD是菱形 AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
B
5 6
A
1 2
7
D
8
O
3 4
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角：
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
D O C
例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长； ⑵求菱形ABCD的面积．
B C A O D
补充例题：已知如图，菱形ABCD中，E 是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。
6.如图，在边长为6的菱形 ABCD中， ∠ DAB=60 º， E是AB的中点,F是AC上的动 点，则EF+BF的最小值为
A
D F
C
E
B
如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD，求两条小路的长和花 坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2 ）
∴ S菱形ABCD=4×2 3
3
=8 3
AB BO 4 2 2
2 2 2 2
∴ AC=4
3
例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路 的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m ）
2
A B
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD 直角三角形有： Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
A
1.已知菱形的周长是12cm，那 3cm 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， B 60度 则∠BAC＝_______.
O
D
C
小结：矩形和菱形的性质
矩形 菱形
定 有一个角是直角的平行四 有一组邻边相等的平行四边 形 义 边形 性 1、具有平行四边形的一切性质 1、具有平行四边形的一切性质
2、四个角都是直角 3、矩形的对角线相等
质
2、菱形的四条边都相等 3、菱形的对角线互相垂直，并且 每一条对角线平分一组对角
四边形集合
平行四边形
一组邻边相等
菱形
AB=BC ABCD
四边形ABCD是菱形
矩形
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形
菱形
（小组合作完成）
D O B C
(1)观察得到的菱形,它是中心对 称图形吗?它是轴对称图形吗? 如果是有几条对称轴?对称轴之 间有什么位置关系? (2)从图中你能得到哪些结论? 并说明理由.
菱形的两组对角分别相等
A
角
菱形的邻角互补
菱形的 两条对角线互相平分
对角线
菱形的两条对角线互相垂直平， 每一条对角线平分一组对角。
已知四边形ABCD是菱形
相等的线段：AB=CD=AD=BC
A
1 2
7 8
D
OA=OC
OB=OD
B
5 6
O
3
4
相等的角： ∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠1=∠2=∠3=∠4
A
提示:从对称性、边、角、对角线、面积等方面来探讨
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形 的所有性质.
菱形既是轴对称图形又是中心对称图形
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等， 故：
菱形的性质1：菱形的四条边都相等。
A
D
B
C
边
菱形的两组对边平行且相等
D O B C
菱形的四条边相等
填空题1. 菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对 44厘米 角线长为11厘米，菱形的周长为______. 2. 菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则 2 176 cm 菱形的面积是_______. 3. 菱形的面积为64平方厘米，两条对角线的比为 8厘米 1∶2 ,那么菱形的边长为_______. 4.已知，菱形对角线长分别为12cm和16cm，求菱形 的高。 5.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等
菱形的性质
授课者:阮群愉
情 前面我们学习了平行四边形和矩形，知 道了如果平行四边形有一个角是直角时,成 景为什么图形? (矩形,由角变化得到) 创 如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 让它有一组邻边相等 , 这个特殊的四边形叫 设 什么呢? (菱形)
矩形
两组对边 分别平行 平行 四边形
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
D
O
C
A
E
B
∴AD=AB （1） ∵ E是AB的中点，且DE⊥AB
∴DA=DB（DE为AB 的中垂线） ∴AD=AB=BD ∴ ∠DAB= 60 °， ∴ ∠ABC=120 °
解： ∵四边形ABCD是菱形，
D
O
C B
A 2 E
（3）
（2） ∵AE=2， ∴ AB=4 ∴ BD=AB=4 在Rt△DAE中,由勾股定理得 ∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥DB DE= AD2 AE2 42 22 ∵ DB=4 ∴ 0B=2 ∴ 在Rt△AOB中,由勾股定理得 AO= =2 3
D
A 4 O
B
3
B
D E C F
C
菱形的性质 2 ： 菱形的两条对角线互相垂直， 每一条对角线平分一组对角。 D 已知:四边形ABCD是菱形 O A C 求证: ∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA B ∵四边形ABCD是菱形 AC⊥BD
∵四边形ABCD是菱形 证明： ∴AB=BC=CD=DA ∴AB=AD,OD=OB
菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补
菱形的 两条对角线互相平分
对角线
数学语言
角
菱形的两条对角线互相垂直平， 每一条对角线平分一组对角。
【菱形的面积公式】
A B
菱形
O E
C
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗
D
S菱形=BC. AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 为 什 用对角线能 计算菱形的面积公式吗? 么 1 ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD S菱形 2