欧拉积分的性质以及应用

欧拉积分的性质以及应用
摘要：首先从伽马以及贝塔函数的定义出发，继而写出他们所具有的性质，并给出了证明，最后列出了在积分学以及概率统计中的一些应用。
Properties and applications of gamma function and beta function
Wang Na
Digest：Let's start with the definition of gamma and beta，then write down the properties that they have, and give proof，Finally, some applications in integral calculus and probability statistics are listed.
一、定义[1]
伽马(Gama)函数：=，
贝塔(Beta)函数：=，
这两个函数也被称为含参量积分，都叫做欧拉积分，第一个函数被称为欧拉第二型积分，第二个函数被称为欧拉第一型积分。
二、性质
1、伽马函数的性质.
（1）具有连续性[11]：在上伽马函数连续
证明： 令= +，则知可由两个积分的和构成，并且令= ， ,在任意闭区间，关于函数，在时有, 又由于是约束得，故而在上呈一致收敛性。
对于来说，当 ，有 ，由于收敛，从而 在上也是具有一致收敛性的，于是在上Gama函数是具有连续 性的。
（2）具有可导性[12]
可容易得到= ,对于任意的闭区间（），它都是一致收敛的，则通过含参量反常积分的可微性定理[1]容易得知在上具有可导性， 由c，d的任意性，伽马函数在上可导，且 = ，
依照以上方法，可以推出在t上的任意阶导数也是存在的：
,t
（3）递推公式[13]：
证明：利用分部积分法，可推出
.
特别地，当是正整数时，
，，故 .而 .
(4)其他表示[15]
①在表示式中作变量代换，令，
则=. 由此可得，
= .
②作变量代换
(5)勒让德(Legendre)公式[5]
.
证明：由于

,
做变量代换， ,可得
.
, ,又因为
故综合整理可得勒让德公式。
（6）余元公式[6]
.
证明：由和贝塔函数的性质
又因为故可证明成立。
（7）[7]
证明：对任意和


.

,
例：求含参量积分： [14].
解：利用 和递推公式，
有
反复递推可得到г（）= .
2、 贝塔函数（Beta函数）的性质
（1）连续性[20]
证明：在定义域内连续
因为对于任意的成立不等式，有
成立，又由于约束，故由魏尔斯特拉斯判别法知一致收敛，所以可推出在内拥有连续性的。
（2）对称性[19]
证明：令x=1-y，可得
.
（3）递推公式[18]

证明：当时，有
+
移项整理得（a）.
（4）的其他形式[17]
①令x，
.
在第二个积分中令，即得
，
于是= .
②
（5）贝塔函数与伽马函数之间的关系[9]
,
例： 进行计算[16]
解：
三、应用
（1）欧拉积分在积分学当中的应用
a．计算定积分.
例1: 对积分进行计算[8]。
解：2，
令
例2：证明
证明：令，

，故而
.
b．平面图形的面积可以利用定积分来求[10]
例1：求曲线在坐标系内所围成的图形的面积。
解：由于区域边界曲线的对称性质，区域面积：
例2：给出麦克劳林正弦螺线怎样计算它在平面内围成的图形的面积？
解:该曲线每一支都不妨围城一个区域，其面积是
第二个等号用换元.
c．在广义积分中的应用[3]
例：计算积分.
解：令,
则
，那么
= .
d．在重积分中的应用[4]
例：计算，其中D是由及这三条直线所围成的闭区域
解: 令,,且,区域D在此改变中被照射成正方形:{}.
于是
= .
（2）欧拉积分在概率统计中的应用[2]
例：设随机变量独立同分布，并效率正态分布，试证明：不是的无偏估计。
证明：由于
.
从而 故结论得证.
参考文献
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年 月 日
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委员
会终
评意
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年 月 日
答辩委员会主任（签章）：
年 月 日
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