不定积分的概念和性质课件

(6) coxsdxsix nC;
(7) six ndxcox sC ; (8) cod2sxxse2cxdxtaxn C;
(9) sidn2xxcs2cxdxco x tC ;
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(1)0se xtca xn d sx excC;
(1)1cs xcco xtd x csx cC ;
(1)2exdx ex C;
(1)3axdx lna
x
a
C
;
(1)4sin xd h cxoxsh C ;
(1)5coxsd h sxin x h C;
以上15个公式是求不定积分的基础，
称为基本积分表，必须熟练掌握。
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例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x2dx
根据积分公式（2）
xdx x1 C
1
51
x2 51
x ln x是 1在 区 间 (0,) 内 的 原 函 数 .
x
4
关于原函数的说明：
对原函数的研究须讨论解决以下两个问题
(1) 是否任何一个函数都存在原函数？ 考察如下的例子
f(x)10
x0 x0
若存在可导函数 F (x )使 F (x ) f(x )
则由 f (x) 的定义
当x0时F (x )f(x ) 0 F(x)C 1
2xdx2C, f(x)x2C,
由曲线通过点（1，2） C1, 所求曲线方程为 yx21.
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函 数 f(x )的 原 函 数 的 图 形 称 为 f(x )的 积 分 曲 线 . 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知
ddxf(x)dxf(x), d[f(x)d]x f(x)d,x
①若 F (x)f(x)，则对于任意常数 C，
F (x ) C 都 是 f(x )的 原 函 数 .
②若 F(x)和 G(x)都是 f (x)的原函数， 则 F (x ) G (x ) C（ C为任意常数）
证 F ( x ) G ( x ) F ( x ) G ( x )
f(x ) f(x ) 0 F (x ) G (x ) C（ C为任意常数）
原函数存在定理：
如 果 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 内 连 续 ，
那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x )，
使 x I ， 都 有 F ( x ) f ( x ) .
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简言之：连续函数一定有原函数.
（证明待下章给出）
（2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有 什么联系？
本
积
(2)
xd xx1C(1); 1
分 表
(3)说明dx：xlxnx0,C ; dxxlnxC,
x 0 ,[l n x )] (1 (x) 1,
x
x
dxxln(x)C, dxxln|x|C, 简写为 dxxlnxC.
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(4) 11x2dxarcxtaC;n
(5)
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1 dxarcxsC i;n 1x2
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一、原函数与不定积分的概念
定义： 如 果 在 区 间 I内 ， 可 导 函 数F(x)的 导函数为f(x)， 即 xI， 都 有 F (x)f(x) 或 dF (x)f(x)d， x那 么 函 数 F(x)就 称 为 f(x)
或 f(x)d在 x 区 间 I内 原 函 数 .
例 six ncoxs six n 是 cox的 s原 函 数 . lnx1 (x0)
(2) k(fx)d xk f(x)dx.（ k是 常 数 ， k0)
不定积分的概念和性质
前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一 个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产 生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积 分两部分。
本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。
C
2
7
x2
C.
7
2
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三、 不定积分的性质
(1 ) [f(x ) g (x )d ] x f(x)d xg(x)d;x
证 f(x)d x g(x)dx f(x )dx g (x )d xf(x)g (x).
等式成立.
此性质可推广到有限多个函数之和的情况
[f1(x)fn(x)d ] x f1 (x )d x fn (x )dx 17
1
重点
原函数与不定积分的概念 基本积分公式 换元积分法 分部积分法 有理函数积分
难点
换元积分 分部积分 有理函数积分
2
基本要求
①正确理解原函数和不定积分概念 ②熟记基本积分公式 ③熟练地运用换元积分法和分部积分法 ④会用待定系数法求有理函数积分 ⑤会用万能代换和三角代换求三角有理式积分 ⑥会求简单无理函数的积分
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不定积分的定义：
在区间I内，函数f(x)的带有任意 常数项的原函数称 为f(x)在 区 间 I内 的
不 定 积 分 ， 记 为 f(x )d. x
f(x)d xF (x)C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数 再加上积分常数即可
F (x)d x F (x)C , d(F x)F (x)C .
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
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二、 基本积分表
实例
x1 x
1
xdxx1 C. 1
(1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
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基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
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例1 求 x5dx. 解 x6 x5,
6
x5dxx6C.
6
例2
求
1 1 x2
dx.
解 arcxta 1n 1x2,
1 1x2d xarcxtC a.n
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例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 yf(x), 根据题意知 dy 2 x, dx 即 f(x)是 2x的 一 个 原 函 数 .
当x0时F (x )f(x ) 0 F (x)C 2
由 F (x )可 导 F (x )在 x0 处连续
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C1C2 （左、右极限存在且相等） F(x)C F(0)0 而已知 F (0 )f(0 ) 1 矛盾 这说明 f (x) 没有原函数
既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然 要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们 给出如下的结论：