不定积分概念与性质

1 ( 4) ∫ dx = arctan x + C ; 2 1+ x
( 5)
∫
y
0
x0
x
三、 基本积分表
′ x xµ+1 实例 = xµ ⇒ ∫ xµdx = + C. µ +1 µ + 1 (µ ≠ −1)
µ+1
能否根据求导公式得出积分公式？ 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式. 因此可以根据求导公式得出积分公式
(tanx) ’=sec2x (cotx) ’=-csc2x ( secx ) ’=secx. tanx (cscx) ’=- cscx. cotx (arcsinx) ’=1/(1-x2)1/2 ( arctanx) ’=1/(1+x2)
例4 求积分 解：
∫x
2
xdx .
5 2
∫x
2
5 +1 2
第五章 不定积分
本章的教学基本要求是： 本章的教学基本要求是： 1、理解原函数和不定积分的定义，掌握 、理解原函数和不定积分的定义， 原函数和不定积分的性质； 原函数和不定积分的性质； 2、熟练掌握不定积分的基本公式及凑微 、 分法； 分法； 3、熟练掌握不定积分的换元积分法和分 、 部积分法。 部积分法。
∴
等式成立. 等式成立
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
( 2)
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx .
是常数， （ k 是常数， k ≠ 0 )
3 2 )dx . − 例5 求积分 ∫ ( 2 2 1+ x 1− x 3 2 解： ( ∫ 1 + x 2 − 1 − x 2 )dx 1 1 dx − 2 ∫ dx = 3∫ 2 2 1+ x 1− x
= 3 arctan x − 2 arcsin x + C
求不定积分的方法
(1) (2) (3) (4) 直接积分法 第一类换元法 第二类换元法 分部积分法
直接积分法
根据不定积分的性质和基本积分公式， 根据不定积分的性质和基本积分公式， 对于一些比较简单的函数的不定积分可以直 接求出结果，或者只需经过简单的恒等变换， 接求出结果，或者只需经过简单的恒等变换， 再辅以积分的法则， 再辅以积分的法则，就可按基本公式求出结 这样的积分方法，叫做直接积分法。 果，这样的积分方法，叫做直接积分法。 • 该方法主要把被积函数变换成基本积分公式 该方法主要把被积函数变换成基本积分公式 中的被积函数的形式。 中的被积函数的形式。
解:
C( x) = ∫ (100 − 2x)dx
= 100 x − x + c
2
其中
c 为任意常数
二、不定积分的几何意义
积分曲线. 函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线
显然，求不定积分得到一积分曲线族,在同一横 显然，求不定积分得到一积分曲线族 在同一横 积分曲线族 坐标 x = x0 处,任一曲线的切线有相同的斜率 任一曲线的切线有相同的斜率 任一曲线的切线有相同的斜率.
关于原函数的说明： 关于原函数的说明：
（1）若 F ′( x ) = f ( x ) ，则对于任意常数 C ， ）
F ( x ) + C 都是 f ( x ) 的原函数 的原函数. 的原函数, （2）若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数 ） 则 F ( x ) − G ( x ) = C （ C为任意常数） 为任意常数） 证 ∵ [F ( x ) − G ( x )]′ = F ′( x ) − G ′( x ) = f ( x) − f ( x) = 0 ∴ F ( x ) − G ( x ) = C （ C为任意常数） 为任意常数）
= arctan x + ln x + C.
1 + 2x 例7 求积分 ∫ dx . 2 2 x (1 + x )
2
1+ x + x 1 + 2x 解： ∫ x 2 (1 + x 2 )dx = ∫ x2(1+ x2 )dx
2
2
2
1 1 dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 x 1+ x 1 = − + arctan x + C . x
∫ e dx = e x+ C ; a x ∫ a dx = ln a + C ;
x
x
基本积分表
导数基本公式
C ’=0 （C为常数） 为常数） 为常数 (xn)’= n xn-1 (lnx) ’=1/x (ax)’= axlna (ex) ’= ex (sinx) ’=cosx (cosx) ’=-sinx
1+ x + x dx . 例6 求积分 ∫ 2 x (1 + x ) 2 2 x + (1 + x ) 1+ x + x 解： dx dx = ∫ 2 ∫ x(1 + x 2 ) x (1 + x )
2
1 1 1 1 dx + ∫ dx = ∫ + dx = ∫ 2 2 1+ x x x 1+ x
= tan x − cos x + C , ∵ y ( 0 ) = 5, ∴ C = 6 , 所求曲线方程为 y = tan x − cos x + 6.
五、 小结
1.原函数的概念： F′( x) = f ( x) 原函数的概念： 原函数的概念 2.不定积分的概念： f ( x)dx = F( x) + C 不定积分的概念： 不定积分的概念 ∫ 3.基本积分表（1）～（ ） 基本积分表（ ）～（ ）～（13） 基本积分表 4.求微分与求积分的互逆关系 求微分与求积分的互逆关系 5.不定积分的性质 不定积分的性质
1 dx . 例8 求积分 ∫ 1 + cos 2 x 1 1 解： ∫ 1 + cos 2 x dx = ∫ 1+ 2cos2 x −1dx
1 1 1 dx = tan x + C . = ∫ 2 2 2 cos x
说明： 说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒 等变形，才能使用基本积分表. 等变形，才能使用基本积分表
不定积分与导数的关系 : ∆ d [ ∫ f ( x ) dx ] dx = f ( x)
或 d [ ∫ f ( x ) dx = f ( x ) dx ∆
∫ F '( x ) dx = F ( x ) + c dF ( x ) = F ( x ) + c ∫ ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c
或 dF ( x ) = f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
或 f ( x )dx 在区间 I 内 原函数(.primitive function ) 原函数.
例
(sin x )′ = cos x
′
sin x 是 cos x 的原函数 的原函数.
1 (ln x ) = ( x > 0) x 1 ln x 是 在区间( 0,+∞ ) 内的原函数 内的原函数. x
例1 求 解:
6
∫ x dx .
′
5
x x 5 5 ∵ = x , ∴ x dx = + C. 6 6
∫
6
1 dx . 例2 求 ∫ 2 1+ x
解: ∵
1 (arctan x ) = , 2 1+ x 1 dx = arctan x + C . ∴ ∫ 2 1+ x
′
例3 某商品的边际成本为 100 − 2 x , 求 总成 本函数 C ( x ) .
µ+1
dx dx = ln | x | + C , ⇒ ∫ = ln( − x ) + C , ∴ ∫ x x
−x
x
1 ( 4) ∫ dx = arctan x + C ; 2 1+ x
( 5)
∫
wenku.baidu.com
( 6)
(7)
( 8)
∫ cos xdx = sin x + C ; ∫ sin xdx = − cos x + C ; 2 dx = ∫ sec xdx = tan x + C ; ∫ cos 2 x
定理 原函数存在定理： 原函数存在定理： 如 果 函 数 f ( x )在 区 间 I 内 连 续 ， 那么在区间 I 内存在可导函数 F ( x ) ， 使∀x ∈ I ，都有 F ′( x ) = f ( x ) . 简言之：连续函数一定有原函数. 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： 原函数是否唯一？ 问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 若不唯一它们之间有什么联系？ ′ 例 (sin x ) = cos x (sin x + C )′ = cos x 为任意常数） （ C为任意常数）
xdx = ∫ x dx
7 2
2 x = + C = x + C. 5 7 +1 2
xµ+1 µ ( 根据积分公式2)∫ x dx = +C µ +1
四、 不定积分的性质
(1)
∫ [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx;
′
证： ∵
[∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx ] ′ ′ = [∫ f ( x )dx ] ± [∫ g ( x )dx ] = f ( x ) ± g ( x ).
化积分为代数和的积分
例 9
已知一曲线 y = f ( x ) 在点 ( x , f ( x )) 处的
2
切线斜率为sec x + sin x ，且此曲线与 y 轴的交 求此曲线的方程. 点为(0,5)，求此曲线的方程
解:
dy 2 ∵ = sec x + sin x , dx 2 ∴ y = ∫ (sec x + sin x )dx
1 dx = arcsin x + C ; 2 1− x
dx 2 (9) ∫ 2 =∫ csc xdx = − cot x + C ; sin x (10) ∫ sec x tan xdx = sec x + C ;
(11) ∫ csc x cot xdx = − csc x + C ;
(12)
(13)
F . 说明 ( x) + c是f ( x)的全部原函数
定义 不定积分(indefinite integral)的定义： 的定义：
在区间 I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 内的
不定积分， 不定积分，记为 ∫ f ( x )dx .
被 ∫积 f (被 x )dx = F ( x原 ) + C任 积 分 号 积 函 数 积 表 达 式 分 变 量 函 数 意 常 数
第一节
不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结
一、原函数与不定积分的概念
定义： 定义： 如果在区间 I 内，可导函数 F ( x ) 的 定义
导函数为 f ( x ) ， ∀ x ∈ I ，都有 F ′( x ) = f ( x ) 即
不定积分的性质
(1)
∫ [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx;
( 2)
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx .
基本积分表
µ µ+1
(1)
是常数); kdx= kx+ C (k是常数 ∫
x (2) ∫ x dx = + C (µ ≠ −1); µ +1 dx (3) ∫ = ln x + C ; x
• • • •
∫0dx=c ∫xndx = xn+1 /(n+1)+c ∫1/xdx= ln|x|+ c ∫axdx= ax/lna + c • ∫exdx= ex + c • ∫cosxdx=sinx + c • ∫sinxdx=-cosx + c
∫sec2xdx= tanx+c ∫csc2xdx= -cotx+c ∫secx. tanxdx= secx+c ∫cscx. cotxdx= -cscx+c ∫1/(1-x2)1/2dx= arcsinx+c ∫1/(1+x2) dx= arctanx+c
基 本 积 分 表
(1)
x (2) ∫ x dx = + C (µ ≠ −1); µ +1 dx (3) ∫ = ln x + C ; x dx 说明： 说明： x > 0, ⇒ ∫ x = ln x + C , 1 1 ( − x )′ = , x < 0, [ln( − x )]′ =
µ
是常数); kdx= kx+ C (k是常数 ∫