【高中数学选修2-2】2.2.1综合法和分析法

(a m)b a(b m)
am a bm b
即证 即 ab bm ab am
即 bm am 即证
即证 b a
因为b a 成立，
am a 所以 成立 bm b
综合法与分析法的综合使用： 例3.已知 ， k k Z , 且 sin cos 2 sin ① 2 2 2 1 tan 1 tan 2 sin cos sin ② 求证： 2 1 tan 2 1 tan2 sin cos 2 2 sin cos 1 证明：因为 1 2 2 2 2
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使 它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫 做分析法（逆推证法）
用Q表示要证明的结论，分析法可用框图表示为：
Q P1 P1 P2 P2 P3
…
一个明显成立 的结论
分析法关键特征:“执果索因”
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使 它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫 做分析法（逆推证法）
分析法证明不等式有严格的书写格式：
或 ”表示， ①可用逻辑关系符号“
②也可用“要想证…只需证…即证…即证…”
一般地，利用已知条件和某些数学定义、 公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后 推出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做 综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法可用框图表示为: Q1 Q 2 P Q1 Q2 Q3
…
Qn Q
综合法关键特征:“由因导果”
格式,证明到明显成立的那一步时要加以文字
说明.
例 1. 求证 3 7 2 5 例 2
证明:要证 3 7 2 5 只需证 ( 3 7 )2 (2 5)2 即证
证明：3 7 2 5
( ) 3 7 2 5


2
2
()10 2 21 20
a+b ab 证明:要证 2 只需证 a + b 2 ab
即证 即证
a + b 2 ab 0
( a b) 0
2
因为 ( a b )2 0 成立
a+b 所以 2
ab 成立
2.分析法
a+b 例：基本不等式： 2
ab (a>0,b>0)的证明.
a+b ab 证明:要证; 2 只需证;a + b 2 ab
() 21 5
()21 25
因为 21<25成立,所以 3 7 2 5 成立.
点评：分析法实现了把求证结论当作已知条件使用，但一定要注意书写格式.
练习.已知a, b, m 都是正数，并且 a b, 求证 证明： ∵ a, b, m 都是正数，要想证明 只需证明
am a bm b

Q2 Q1

P 1 P 2
Pn P'
Q' Qm
Q1 Q
综合法
分析法
小结
分析法和综合法是思维方向相反的两种思 考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的 待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下 去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从 数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理， 最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明 来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为 由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思 考方法，应用十分广泛。

Q2 Q1

P 1 P 2
Pn P'
Q' Qm
Q1 Q
综合法与分析法的综合使用： 例3.已知 ， k k Z , 且 sin cos 2 sin ① 2 2 2 1 tan 1 tan 2 sin cos sin ② 求证： 2 1 tan 2 1 tan2 sin cos 2 2 sin cos 1 证明：因为 1 2 2 2 2
还原成综合法： 证明:
2 ( a b ) 0 因为;
即证; a + b 2 ab 0 即证; ( a b ) 0
2
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
因为;( a b )2 0 成立
a+b 所以 2
a+b ab 成立 所以 2 ab成立


即证 cos sin
2
所以将①②代入上式，可得
cos 2
sin
4 sin 2 sin 1 ③
2 2
1 即证1 2 sin 1 2 sin 2 2


1 tan2 1 tan2 另外，要证 1 tan2 2 1 tan2
1.综合法 例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+a2
≥2ac,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 一般地，利用已知条件和某些数学定义、 公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后 推出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做 综合法(顺推证法)
sin 2 sin 2 1 1 2 cos2 cos 只需证 sin 2 sin 2 1 2 1 cos2 cos2
PP 1



即证4 sin 2 2 sin 2 1
根据③，问题得证.
点评：用P表示已知条件、定义、定理、公理 等，用Q表示要证明的结论，则本题过程可用 框图表示为：
21 5
即证 21<25 因为 21<25成立,所以
3 7 2 5 成立.
() 21 5
()21 25
因为 21<25成立,所以 3 7 2 5 成立.
点评：分析法实现了把求证结论当作已知条件使用，但一定要注意书写格式.
练习.已知a, b, m 都是正数，并且 a b, 求证
am a bm b
证明:要证 3 7 2 5 只需证 ( 3 7 )2 (2 5)2 即证
证明：3 7 2 5
( ) 3 7 2 5


2
2
()10 2 21 20
21 5
即证 21<25 因为 21<25成立,所以
3 7 2 5 成立.
例1：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对 应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等 差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ 为等边三角形． 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法可用框图表示为: Q1 Q 2 P Q1 Q2 Q3
…
Qn Q
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
复习
推 理
合情推理 演绎推理
归纳
(特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
三段论 （一般到特殊）
我们知道，合情推理所得结论的正确性是需要证明的， 本节开始我们将学习两类基本的证明方法： 直接证明与间接证明。
直接证明有两种最基本的证明方法----综合法、分析法.
sin 2 sin 2 1 1 2 cos2 cos 只需证 sin 2 sin 2 1 2 1 cos2 cos2
PP 1



即证4 sin 2 2 sin 2 1
根据③，问题得证.
点评：用P表示已知条件、定义、定理、公理 等，用Q表示要证明的结论，则本题过程可用 框图表示为：
综合法关键特征:“由因导果”
例1：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对 应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等 差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ 为等边三角形．
文字语言 学会语言转换 找出隐含条件 图形语言 符号语言
2.分析法
a+b 例：基本不等式： 2
ab (a>0,b>0)的证明.


即证 cos sin
2
所以将①②代in
4 sin 2 sin 1 ③
2 2
1 即证1 2 sin 1 2 sin 2 2


1 tan2 1 tan2 另外，要证 1 tan2 2 1 tan2