关于高等数学上册复习归纳

关于高等数学上册复习归

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Last revision on 21 December 2020

高等数学（上册）复习资料

一：函数的两个要素： 定义域 对应法则

1 两个函数相同： （1）定义域相同 （2）对应法则相同 至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。 例如：

sin y x x =-∞<<+∞ 与sin u t

t =-∞<<+∞是同一个函数。

2 函数的几种特性 （1）有界性 ()y f x x D =∈

如果存在实数1k ，使得1()f x k ≤ ，则称()f x 在D 上有上界 如果存在实数2k ，使得1()f x k ≥ ，则称()f x 在D 上有下界。

有界：既有上界 ，又有下界 。即存在实数1k ，2k 使得21()k f x k ≤≤ 等价于存在

0k > ，使得()f x k x D ≤∈

（2）单调性

若对区间I 内任意两点12x x < ，都有12()()()f x f x ≤≥ ，则称()y f x =在I 内单调增加（减少）。

若将“()≤≥ ”改成“()<>”称为严格单调增加（减少）。 （3）奇偶性

设函数()y f x =的定义域关于原点对称 如果 ()()f x f x -= ，则称 ()f x 为偶函数 如果()()f x f x -=- ，则称 ()f x 为奇函数 （4） 周期性

若()()f x l f x += 则称()f x 是以l 为周期的函数 注：周期通常指的是它的最小正周期

3复合函数

设()y f u =的定义域为1D ，又()u g x =的定义域为D ，且1()g D D ⊂ ，则函数

[]()y f g x x D =∈称为由函数()u g x =和 函数 ()y f u =构成的复合函数。u 称为中间变量，记为：[]()()()f g x f g x = 4 基本初等函数：

（1）幂函数 y x μ= （2）指数函数 (0,1)x y a a a =>≠

（3）对数函数log a y x = 特例,ln a e y x == （4）三角函数 sin ,cos y x y x == 等 （5）反三角函数 arcsin ,arccos y x y x ==等

5 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的并可以用一个式子表示的函数。

例：210

()10x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩ 两个式子 ，故不是初等函数

6 函数的极限

当x →∞时，若()f x 无限地接近于某个确定的数A ，则称A 为()f x 当x →∞时的极限。记为lim ()x f x A →∞

=

重要结论：lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞

→+∞

→-∞

=⇔==

lim ()x f x A

→∞

=的几何意义：

一、 y A =是他的水平渐近线 例如： 1

lim

0x x

→∞=

二、 lim ()lim ()x x f x A

f x B →+∞

→-∞

==而 A B ≠ ，则说明它有两条渐近线。例

如：lim arctan ,,2

2

x x y y π

π

→∞

=

=-

两条渐近线。

当0x x →时 ，如果()f x 无限地接近于某一确定的常数A ，则称A 为()f x 当0x x →时的极限。记为：0

lim ()x x f x A

→=

注：（1）()f x 在0x 处的极限存在与否与()f x 在0x x =处有无定义没有关系。因为定义中没有要求0x x =，只是 0x x →

（2）x 趋近于0x 的方式是任意的。（即 可以从左边 ，也可以从右边）

左极限：当x 从左边趋近于0x （记为：0x x -

→）时 ，()f x A →，则称A 为()f x 当

0x x →时的左极限。记为：0

lim ()x x f x A -

→= 或0

()f x A -

= 。 右极限：0

lim ()x x f x A +

→= 即左右极限存在且相等

若： 0

0()()f x f x -+

≠ ，则0

lim ()x x f x →不存在 7 无穷小量

定义：以 0为极限的变量称为无穷小（量）

定义：当0x x →（或x →∞）时 ()f x 无限增大 注意 无穷大是一种特殊的无界变量，但无界变量不一定是无穷大 无穷大的几何意义：

lim ()x x f x →=∞ ，直线0x x =是函数()y f x =图形的铅直渐近线 （回忆水平渐近

线

定理二：在自变量的同一变化过程中，如果()f x 为无穷大 ，则

1

()

f x 为无穷小；反之 ，如果()f x 为无穷小 ，且()0f x ≠ ，则

1

()

f x 为无穷大。 无穷小的性质：

定理三：有限个无穷小的和仍是无穷小 定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

推论：（1） 有极限的量与无穷小的量的乘积是无穷小。

（有极限⇒有界）

（2）常数与无穷小量的乘积是无穷小 （3）有限个无穷小量的乘积也是无穷小

8 无穷小的比较

定义： 设,αβ都是无穷小

(1) 若lim

0βα= ，则称β是比α高阶的无穷小 ，记为：0()βα= (2) 若lim

β

α=∞ ，则称β是比α低阶的无穷小 (3) 若lim

0c β

α=≠ ，则称β与α是同阶无穷小

(4) 若lim

1β

α

= ，则称β与α是等价无穷小 ，记为：~αβ

最重要是等价无穷小 ，关于等价无穷小，我们要记住以下结论

当0x →时 ，sin ~,tan ~,ln(1)~,1~x x x x x x x e x +- ，arcsin ~x x ，

arctan ~x x 11~

x n ，21

1cos ~2

x x - ，1~ln x a x a - ，(1)1~x x αα+- 注意其引申 sin ~,tan ~kx kx kx kx

即上面的无穷小可换成其他无穷小

定理一：设'

~αα ，'

~ββ ，且'

'lim βα存在，则

9 函数的连续性

定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义 ，如果

[]000

lim lim ()()0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-= ，则称()y f x =在点0x 处连续。

强调：0x ∆→包含 0,0x x ∆>∆→ ；0,0x x ∆<∆→ 记：0x x x +∆= ，则000()()()()y f x x f x f x f x ∆=+∆-=-

0x ∆→ 相当于 0x x → 0y ∆→ 相当于 0()()f x f x →

由此 ，我们得到连续的另一个等价定义