数学人教版《完全平方公式》完美版

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(2)中,首项有负号, 一般先利用添括号法 则将其变形为-(x2-4xy +4y2),然后再利用公式 分解因式.
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a2
2ab
b2
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解: (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + 32 = (4x + 3)2.
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2.
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7.(1)已知a-b=3,求a(a-2b)+b2的值; (2)已知ab=2,a+b=5,求a3b+2a2b2+ab3的值.
解:(1)∵a-b=3, ∴a(a-2b)+b2=a2-2ab+b2 =(a-b)2 =32=9.
(2)∵ab=2,a+b=5, ∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2) =ab(a+b)2 =2×52=50.
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完全平方式:a 2 2ab b2
完全平方式的特点: 1.必须是三项式(或可以看成三项); 2.有两个同号的数或式的平方; 3.中间有两底数之积的±2倍.
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简记口诀:首平方,尾平方,首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式.将
为0,则这几个非
∵(x-2)2≥0,(y-5)2≥0, 负数都为0.
∴x-2=0,y-5=0,
∴x=2,y=5,
∴x2y2+2xy+1=(xy+1)2=112=121.
解此类题常通过配方将原式转化为非 负数的和的形式,再利用非负数性质求解.
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可以简化计算.
解:(1)原式=(100-99)²
=1. (2)原式=(34+16)2
=2500.
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例5 已知x2-4x+y2-10y+29=0,求x2y2+2xy+1
的值.
解:∵x2-4x+y2-10y+29=0,几个非负数的和
∴(x-2)2+(y-5)2=0.
(2)原式=(a2+4)2-(4a)2 =(a2+4+4a)(a2+4-4a) =(a+2)2(a-2)2.
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例4 把下列完全平方公式分解因式:
本题利用完全平
(1)1002-2×100×99+99²;
方公式分解因式,
(2)342+34×32+162.
解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
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利用公式把某些具有特殊形式(如平 方差式、完全平方式等)的多项式分解因 式,这种分解因式的方法叫做公式法.
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例2 分解因式: (1)16x2+24x+9;
分析:(1)中, 16x2=(4x)2, 9=3²,24x=2·4x·3,所以 16x2+24x+9是一个完全平 方式,即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.
(2)-x2+4xy-4y2.
(3) y2+2y+1-x2. 解:(1)原式 =x2-2·x·6+62
=(x-6)2. (2)原式=[2(2a+b)]²- 2·2(2a+b)·1+1²
=(4a+2b- 1)2. (3)原式=(y+1)²-x²
=(y+1+x)(y+1-x).
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例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析:根据完全平方式的特征,中间项-6x=2x×(-3), 故N=(-3)2=9.
【变式】如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m 的值为___±__8___.
解析:∵16=(±4)2,∴-m=2×(±4),∴m=±8.
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解此类题要熟练掌握完全平方公式的结 构特征,根据参数所在位置,结合公式,找出参数 与已知项之间的数量关系,从而求出参数的值.计算 时,要注意积的2倍的符号,避免漏解.
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数学人教方式?
(1)a2-4a+4; 是 (3)4b2+4b-1; 不是 (5)x2+x+0.25. 是
(2)1+4a²; 不是 (4)a2+ab+b2; 不是
分析(:2)只有两项; (3)4b²与-1的符号不统一; (4)ab不是a与b的积的2倍.
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【练习】因式分解: (1)-3a2x2+24a2x-48a2;
有公因式要先 提公因式.
(2)(a2+4)2-16a2. 解:(1)原式=-3a2(x2-8x+16)
=-3a2(x-4)2.
要检查每一个多 项式的因式,看 能否继续分解.
6.计算:(1)38.92-2×38.9×48.9+48.92;
(2)20182 2018 4034 20172.
解:(1)原式=(38.9-48.9)2 =100.
(2)原式 20182 2 2018 2017 20172
(2018 2017)2
1.
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课堂总结
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
完全平方
公式分解


特点
(1)多项式有三项; (2)其中两项同号,且都可 以写成某数或式的平方,另 一项则是这两数或式的乘积 的2倍,符号可正可负
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这样的三项式写成完全平方形式,便实现了因式分解.
a2 ± 2ab
+b2 =(a ± b)²
首2 ±2×首×尾 +尾2 (首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积 的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
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对照 a²±2ab+b²=(a±b)²,填空: 1. x²+4x+4= ( x )²+2·(x )·(2 )+( 2 )²=(x + 2 )² 2.m²-6m+9=( m )²- 2·(m ) ·( 3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3.a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·( 2b )+(2b )²=(a + 2b )²
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1.下列四个多项式中,能因式分解的是( B )
A.a2+1
B.a2-6a+9
C.x2+5y D.x2-5y
2.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是( B ) A.4xy(x-y)-x3 B.-x(x-2y)2
C.x(4xy-4y2-x2) D.-x(-4xy+4y2+x2)
3.若m=2n+1,则m2-4mn+4n2的值是__1______. 4.若关于x的多项式x2-8x+m2是完全平方式,则m的
值为__±__4__ .
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5.把下列多项式因式分解. (1)x2-12x+36; (2)4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
运用完全平方公式分解因式
葫芦岛第六初级中学
利用完全平方公式 把下面4个图形拼成一正方形并求出面积
a a² a
ab a ab a b² b
b
b
b
拼出图形为:
b ab b²
a a² ab
a
b
这个大正方形的面积可以怎么求?
(a+b)2
= a2+2ab+b2
将上面的等式倒过来看,能得到:
a2+2ab+b2 = (a+b)2
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例3 分解因式: (1)3ax2+6axy+3ay2 ;(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
分析:(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进 一步分解; (2)中,将a+b看成一个整体,设a+b=m,则 原式化为完全平方式m2-12m+36.
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做 完全平方式.
观察这两个式子: a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
(1)每个多项式有几项? 三项. (2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?
这两项都是数或式的平方,并且符号相同. (3)中间项和第一项、第三项有什么关系?
中间项第一项和第三项底数的积的±2倍.
例6 已知a,b,c分别是△ABC三边的长,且a22b2+c2- 2b(a+c)=0,请判断△ABC的形状, 并说明理由. 解:△ABC是等边三角形.理由如下:
由a2+2b2+c2-2b(a+c)=0, 得 a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0, 即(a-b)2+(b-c)2=0, ∴a-b=0,b-c=0,∴a=b=c, ∴△ABC是等边三角形.
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