5欧拉图与汉密尔顿图
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用邻接矩阵求通路数(例)
v1
v4
v1 v2 v3 v4
v1 A(G ) v2
0 1
1 0
0 1
1
1
v3 v4
0 1
1 1
0 0
0
0
v2
v3
2 1 1 1
A2
1
3
0
1
1 0 1 1
1
1
1
2
2 4 1 3
A 3 4
2
3
4
1 3 0 1
2
4
1
2
7 6 4 6
A4
6
11
2
6
4 2 3 4
A(G)=[aij]nn, aii=0,
1, vi与vj相邻,ij
aij =
v1
v4 0, vi与vj不相邻
v1 v2 v3 v4
v1 A(G ) v2
0 1
1 0
0 1
1
1
v2
v3
v3 v4
0 1
1 1
0 0
0 0
8
无向图邻接矩阵(性质)
A(G)对称: aij= aji 每行(列)和为顶点度: ni=1aij=d(vj) 握手定理: ni=1nj=1aij=ni=1d(vj)=2m
18
用邻接矩阵求通路数(例)
v1
v2
0 0 2 1
A2
0
0
0
1
0 0 1 1
0
0
1
2
0 2 3 1
B2
0
0
1
1
0 0 1 2
0
0
2
3
v4
v1 v2 v3 v4
v1 A(D) v2
0 0
2 0
1 1
0 0
v3
v3 v4
0 0
0 0
0 1
1 1
0 0 1 3 A 3 0 0 1 1
数为d+(v), -1的个数为d-(v)
握手定理: ni=1mj=1mij=0
平行边: 相同两列
v1
M(D) v2
e1
1
1
e2 1
1
e3 1
0
e4 0
1
e5 e6
0 0
0
0
v3 v4
0
0
0 1 1 1 1
0
0
0
1
1
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无向图邻接矩阵
设G=<V,E>是无向简单图,V={v1,v2,…,vn} 邻接矩阵(adjacence matrix):
0 0 1 2 0 0 2 3
0 0 3 4
A 4 0
0
1
2
0 0 2 3
0
0
3
5
0 2 4 4
B 3 0
0
2
2
0 0 2 4
0
0
4
6
0 2 7 8
B 4 0
0
3
4
0 0 4 7
0 0 7 11
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可达矩阵
设D=<V,E>是有向图,V={v1,v2,…,vn}, 可达矩阵: P(D)=[pij]nn,
v1 v2 v3 v4
v1 A(G ) v2
0 1
1 0
0 1
1 1
v2
v3
v3 v4
0 1
1 1
0 0
0 0
9
邻接矩阵与通路数
设A(D)=A=[aij]nn, Ar=Ar-1•A (r2), Ar=[aij (r)]nn,
整数乘和整数加
定理1: aij (r) =从vi到vj长度为r的通路总数 ni=1nj=1aij (r) =长度为r的通路总数 ni=1aii (r) =长度为r的回路总数. #
环个数: ni=1aii
v1
v4
v1 v2
v1 A(D) v2
0 0
2 0
v3 v4
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0 0
0 0
v3 v4
1 0 1 0 0 1 1 1
v2
v3
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邻接矩阵与通路数
设A(D)=A=[aij]nn, Ar=Ar-1•A (r2), Ar=[aij(r)]nn,
定理2: aij(r)=从vi到vj长度为r的通路总数 ni=1nj=1aij(r)=长度为r的通路总数 ni=1aii (r) =长度为r的回路总数
定义14.27 设图G1=<V1，E1>, G2=<V2，E2>,若 V1∩V2= ，
则称G1与G2 是不交的. 若 E1∩E2= ，则称 E1与E2 是不重的.
由定义知，不交的图必然是边不交的，但反之 不真。
22
图的运算
定义14.28 设图G1=<V1，E1>, G2=<V2，E2>为不含孤立点的
有向图关联矩阵(例)
v1
v4
e1 e2 e3 e5 e6
v2
e4
v3
e1 e2 e3 e4 e5 e6
v1 M(D) v2
1
1
1 1
1 0
0 1
0 0
0
0
v3 v4
0
0
0 1 1 1 1
0
0
0
1
1
6
有向图关联矩阵(性质)
每列和为零: ni=1mij=0 每行绝对值和为d(v): d(vi)=mj=1mij, 其中1的个
两个图（它们同为无向图或同为有向图). (1)称以 V1∪V2为顶点集，以 E1∪E2 为边集的图为
G1与 G2 的并图,记作 G1∪G2 ,即G1∪G2 =< V1∪V2 ,E1∪E2 >.
P(G1)
P(G)
P(G2)
P(Gk)
14
连通矩阵(例)
v1
v3
v4
v6
v2
v5
1 1 1 0 0 0
1
1
1
0
0
0
1 1 1 0 0 0
P
0
0
0
1
1
0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1
15
有向图邻接矩阵
设D=<V,E>是有向图,V={v1,v2,…,vn} 邻接矩阵(adjacence matrix): A(D)=[aij]nn, aij =
1, 若vi与vj连通 pij =
0, 若vi与vj不连通
13
连通矩阵(性质)
主对角线元素都是1: viV, vi与vi连通 连通图: 所有元素都是1 伪对角阵: 对角块是连通分支的连通矩阵 设Br=A+A2+…+Ar= [bij(r)]nn, 则ij, pij=1 bij(n-1) > 0
6
6
4 7
11
邻接矩阵与通路数
设Ar=Ar-1•A,(r2), Ar=[aij(r)]nn, 推论1: aii (2) =d(vi). # 推论2: G连通距离d(vi,vj)=min{r|aij(r)0，ij}.
#
12
连通矩阵
只考虑有无，不考虑有多少条 设G=<V,E>是无向简单图, V={v1,v2,…,vn}, 连通矩阵: P(G)=[pij]nn,
1, 从vi可达vj pij =
0, 从vi不可达vj
20
可达矩阵(性质)
主对角线元素都是1: viV, 从vi可达vi 强连通图: 所有元素都是1
伪对角阵: 对角块是强连通分支的可达矩阵
ij, pij=1 bij (n-1) > 0
P(D1)
P(D)
P(D2)
P(Dk)
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图的运算
从vi到vj的边数
v1
v4
v1 v2 v3 v4
v1 A(D) v2
0 0
2 0
1 1
0 0
v2
v3
v3 v4
0 0
0 0
0 1
1 1
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有向图邻接矩阵(性质)
每行和为出度: nj=1aij=d+(vi)
每列和为入度: ni=1aij=d-(vj)
握手定理: ni=1nj=1aij=ni=1d-(vj)=m
用邻接矩阵求通路数(例)
v1
v4
v1 v2 v3 v4
v1 A(G ) v2
0 1
1 0
0 1
1
1
v3 v4
0 1
1 1
0 0
0
0
v2
v3
2 1 1 1
A2
1
3
0
1
1 0 1 1
1
1
1
2
2 4 1 3
A 3 4
2
3
4
1 3 0 1
2
4
1
2
7 6 4 6
A4
6
11
2
6
4 2 3 4
A(G)=[aij]nn, aii=0,
1, vi与vj相邻,ij
aij =
v1
v4 0, vi与vj不相邻
v1 v2 v3 v4
v1 A(G ) v2
0 1
1 0
0 1
1
1
v2
v3
v3 v4
0 1
1 1
0 0
0 0
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无向图邻接矩阵(性质)
A(G)对称: aij= aji 每行(列)和为顶点度: ni=1aij=d(vj) 握手定理: ni=1nj=1aij=ni=1d(vj)=2m
18
用邻接矩阵求通路数(例)
v1
v2
0 0 2 1
A2
0
0
0
1
0 0 1 1
0
0
1
2
0 2 3 1
B2
0
0
1
1
0 0 1 2
0
0
2
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v4
v1 v2 v3 v4
v1 A(D) v2
0 0
2 0
1 1
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v3
v3 v4
0 0
0 0
0 1
1 1
0 0 1 3 A 3 0 0 1 1
数为d+(v), -1的个数为d-(v)
握手定理: ni=1mj=1mij=0
平行边: 相同两列
v1
M(D) v2
e1
1
1
e2 1
1
e3 1
0
e4 0
1
e5 e6
0 0
0
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v3 v4
0
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0 1 1 1 1
0
0
0
1
1
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无向图邻接矩阵
设G=<V,E>是无向简单图,V={v1,v2,…,vn} 邻接矩阵(adjacence matrix):
0 0 1 2 0 0 2 3
0 0 3 4
A 4 0
0
1
2
0 0 2 3
0
0
3
5
0 2 4 4
B 3 0
0
2
2
0 0 2 4
0
0
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0 2 7 8
B 4 0
0
3
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0 0 4 7
0 0 7 11
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可达矩阵
设D=<V,E>是有向图,V={v1,v2,…,vn}, 可达矩阵: P(D)=[pij]nn,
v1 v2 v3 v4
v1 A(G ) v2
0 1
1 0
0 1
1 1
v2
v3
v3 v4
0 1
1 1
0 0
0 0
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邻接矩阵与通路数
设A(D)=A=[aij]nn, Ar=Ar-1•A (r2), Ar=[aij (r)]nn,
整数乘和整数加
定理1: aij (r) =从vi到vj长度为r的通路总数 ni=1nj=1aij (r) =长度为r的通路总数 ni=1aii (r) =长度为r的回路总数. #
环个数: ni=1aii
v1
v4
v1 v2
v1 A(D) v2
0 0
2 0
v3 v4
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0 0
0 0
v3 v4
1 0 1 0 0 1 1 1
v2
v3
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邻接矩阵与通路数
设A(D)=A=[aij]nn, Ar=Ar-1•A (r2), Ar=[aij(r)]nn,
定理2: aij(r)=从vi到vj长度为r的通路总数 ni=1nj=1aij(r)=长度为r的通路总数 ni=1aii (r) =长度为r的回路总数
定义14.27 设图G1=<V1，E1>, G2=<V2，E2>,若 V1∩V2= ，
则称G1与G2 是不交的. 若 E1∩E2= ，则称 E1与E2 是不重的.
由定义知，不交的图必然是边不交的，但反之 不真。
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图的运算
定义14.28 设图G1=<V1，E1>, G2=<V2，E2>为不含孤立点的
有向图关联矩阵(例)
v1
v4
e1 e2 e3 e5 e6
v2
e4
v3
e1 e2 e3 e4 e5 e6
v1 M(D) v2
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0
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有向图关联矩阵(性质)
每列和为零: ni=1mij=0 每行绝对值和为d(v): d(vi)=mj=1mij, 其中1的个
两个图（它们同为无向图或同为有向图). (1)称以 V1∪V2为顶点集，以 E1∪E2 为边集的图为
G1与 G2 的并图,记作 G1∪G2 ,即G1∪G2 =< V1∪V2 ,E1∪E2 >.
P(G1)
P(G)
P(G2)
P(Gk)
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连通矩阵(例)
v1
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P
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0 0 0 0 0 1
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有向图邻接矩阵
设D=<V,E>是有向图,V={v1,v2,…,vn} 邻接矩阵(adjacence matrix): A(D)=[aij]nn, aij =
1, 若vi与vj连通 pij =
0, 若vi与vj不连通
13
连通矩阵(性质)
主对角线元素都是1: viV, vi与vi连通 连通图: 所有元素都是1 伪对角阵: 对角块是连通分支的连通矩阵 设Br=A+A2+…+Ar= [bij(r)]nn, 则ij, pij=1 bij(n-1) > 0
6
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4 7
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邻接矩阵与通路数
设Ar=Ar-1•A,(r2), Ar=[aij(r)]nn, 推论1: aii (2) =d(vi). # 推论2: G连通距离d(vi,vj)=min{r|aij(r)0，ij}.
#
12
连通矩阵
只考虑有无，不考虑有多少条 设G=<V,E>是无向简单图, V={v1,v2,…,vn}, 连通矩阵: P(G)=[pij]nn,
1, 从vi可达vj pij =
0, 从vi不可达vj
20
可达矩阵(性质)
主对角线元素都是1: viV, 从vi可达vi 强连通图: 所有元素都是1
伪对角阵: 对角块是强连通分支的可达矩阵
ij, pij=1 bij (n-1) > 0
P(D1)
P(D)
P(D2)
P(Dk)
21
图的运算
从vi到vj的边数
v1
v4
v1 v2 v3 v4
v1 A(D) v2
0 0
2 0
1 1
0 0
v2
v3
v3 v4
0 0
0 0
0 1
1 1
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有向图邻接矩阵(性质)
每行和为出度: nj=1aij=d+(vi)
每列和为入度: ni=1aij=d-(vj)
握手定理: ni=1nj=1aij=ni=1d-(vj)=m