空间中的垂直关系ppt

例1、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂
有一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的
下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一
条直线上)C、D, 如果这两点都和旗杆脚B
的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为
什么？
A
C
BD
解：在△ABC和△ABD中，因为AB=8， BC=BD=6，AC=AD=10， 所以 AB2+BC2=82+62=102=AC2.
正确的是（ B ）
A. (1)(3)(4) C. (1)
B. (1)(4) D.四个命题都正确。
3． 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中， O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为 垂足，求证：B1H⊥平面AD1C.
证明：连接B1D1， ∵ B1B⊥AB，B1B⊥BC，A1 ∴ B1B⊥平面ABCD， ∴ B1B⊥AC，
1.2.3 空间中的垂直关系(1)
一. 直线与平面垂直的定义
1． 两直线互相垂直： 如果两条直线相交于一点或经过平移
后相交于一点，并且交角为直角，则称这
两条直线互相垂直。
A
A
l O
B
l O
B
观察旗杆与地面内的每一条 直线有什么关系，旗杆与地面的 关系呢？
2． 直线与平面垂直： 如果一条直线（l）和一个平面（α）相
则设α与β相交于直线AM。
因为l⊥α，AM α,
l
所以l⊥AM，
P
A
M
又已知AP⊥l，于是在平面β内， 过点A有两条直线垂直于l， 这是不可能的， 所以AP一定在α内。
l
P
A
M
直线与平面垂直的判定方法 1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的 任何一条直线，则此直线垂直于这个平面.
2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面 内的两条相交直线，那么此直线垂直于这 个平面。
3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于同一个平面。
4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这 条直线和平面垂直
练习题：
1 、如果平面外的一条直线上有两 点到这个平面的距离相等，则这条直线 和平面的位置关系是（ C ）
A.平行 B.相交 C.平行或相交
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2、在空间，下列命题 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行； （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行； （3）平行于同一平面的两条直线互相平行； （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。
l⊥a，l⊥b， l⊥α.
实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕
AD ，且使折痕AD⊥BC，将翻折后的纸片竖
起放置在桌面上，（BD、DC 与桌面接触）.
A
B
D
C
推论1 ：如果两条平行直线中的一条垂 直于一个平面，那么另一条也垂直于这个 平面．
已知： a ， a /．/b 求证： b ．
AB2+BD2=82+62=102=AD2. 所以∠ABC=∠ABD=90°， 即AB⊥BC，AB⊥BD， 又知B，C，D三点不共线， 因此AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直。
例3．已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直 线AP⊥l. 求证：AP在α内。 证明：设AP与l 确定的平面为β，假设AP 不在α内，
交于点A，并且a和这个平面内过点A的任 何直线都垂直，则该直线垂直于这个平面， 记作l⊥α，这条直线叫做平面的垂线，这 个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足。
l
b α
A a
在几何中，定义兼具两重性，既是 判定又是性质。 判定是指：如果一条直线垂直一个平面内 的任意一条直线，那么这条直线与这个平 面垂直，这是判定证明直线与平面垂直的 一种方法； 性质是指：如果一条直线垂直于一个平面， 那么这条直线垂直于这个平面内的任意一 条直线。
A
D1
H D
O
C1 B1
C B
∵ 又AC⊥BD， ∴ AC⊥平面BB1D1D，
又B1H平面BB1D1D，∴ AC⊥B1H，
又B1H⊥D1O，∴ B1H⊥平面AD1C.
D1
C1
A1
B1
H
D
C
O
A
B
即
a b
a
b
这是在线面垂直问题中经常要用到的 一个结论。
判断正误：
如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直 线都垂直，则直线 l和平面 α互相垂直.
二. 直线与平面垂直的判定定理
1．定理：
①文字语言：如果一条直线与平面内的两
条相交直线垂直，则这条直线与这个平面
垂直.
l
②图形语言：
b
O a
③符号语言：a α，b α，a∩b=O，
B
由直线与平面垂直的判定定理的推论1可
知m’⊥α. 设m和m’确定的平面为β，α与β的交线
为a， 因为直线m和m’都垂直于平面α，
所以 直线m和m’都垂直于交线a，
因为在同一平面内，通过直线上一点并 与已知直线垂直的直线不可能有两条， 所以直线m与m’必重合， l m m'
即有l //m.
A
B
例1．过一点和已知平面垂直的直线只有 一条。
已知：平面α和一点P. 求证：过点P与α垂直的直线只有一条。
P
AB
AB
P
证明：不论P点在α外或内，设PA⊥α，垂 足为A(或P)， 如果过P点，除直线PA⊥α外，还有一条直 线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β,
且α∩β=a， 于是在平面β内过点P有两条直线PA， PB垂直于交线a，
这是不可能的。所以过点P与α垂直的直 线只有一条。
证明：设m是α内的任意一条直线．
a
m
a
m
b
m
a //b
b
m
推论2：如果两条直线垂直于同一个平 面，那么这两条直线平行 。 已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α， 垂足分别为a，b，求证：l//m.
证明：假设直线m与直线l不
平行。过直线m与平面α的交
点B作直线m’//l，
l
m m'
A