2.晶体学基础

晶向指数的确定方法为
1）在一组互相平行的阵点直线中引出过坐
标原点的阵点直线； 2）在该直线上任选一个阵点，量出它的坐 标值(用点阵周期a、b、c度量)； 3）将三个坐标值化为简单整数，并用方括 号括起，即为该组直线的晶向指数
当泛指某晶向指数时，用〔uvw〕表示
六方晶系的晶面和晶向指数表示方法与其 它晶系不同 六方晶系中四轴定向的晶向指数用〔uvtw〕 来表示。 四轴坐标晶向指数的确定，并不象确定晶 面指数那么简单直观。但是，在三轴坐标 系中确定它的晶向指数是很容易的。因此 通常的作法是先求出三轴和四轴晶向指数 之间的关系，然后再由三轴晶向指数换算 出四轴晶向指数

三轴和四轴晶向指数之间的关系
1 t (u v) (U V ) 3 w W 2 1 u U V 3 3 2 1 v V U 3 3
2.2 倒易点阵 倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照 一定的对应关系建立起来的空间点阵， 是晶体点阵的另一种表达形式[ 之所以称为倒易点阵，是因为它的基 矢量与晶体点阵存在着倒易关系。为 了便于区别，有时将晶体点阵称为正 点阵
晶面指数或称密勒（M iller, W．H．）指数 的确定方法为：
1）在一组互相平行的晶面中任选一个晶面，用点 阵周期a、b、c为单位来度量；求出它在三个坐 标轴上的截距； 2）求出三个截距的倒数； 3）将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数，把它 们化为三个简单整数，并用圆括号括起，即为该 组平行晶面的晶面指数。
（2）底心点阵：用字母C（或A、B）表示。 除八个顶点上有阵点外，两个相对面的面 心上还有阵点，面心上的阵点为相邻的两 个平行六面体所共有。因此，每个阵胞占 有两个阵点。其阵点坐标分别为：000,0 。 （填空） （3）面心点阵：用字母F表示。除八个顶点 上有阵点外，每个面心上部有一个阵点。 因此，每个阵胞占有4个阵点。其阵点坐标 分别为；000， 0， 0 ， 0
倒易点阵的定义
a*· b＝a*· b*· c＝ a＝b*· c=c*· a＝c*· b＝0 （2－8） a*· a＝b*· b＝c*· c=1 （2－9）

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这个基本关系给出了倒易基矢量的方向和长度。
从(2-8)式得知，a*同时垂直b和c，因此a*垂
直b、c所构成的平面，即a*垂直（100）晶面
当泛指某一晶面指数时，一般用（hkl） 在同一晶体点阵中，有若干组晶面是可以
通过一定的对称变换重复出现的等同晶面， 它们的面间距和晶面上结点分布完全相同。 这些晶面属于同族等同晶面，用﹛hkl﹜来 表示。例如，在立方晶系中﹛100﹜等同晶 面族包括（100）、（010）、（001）、 （00-1）、（0-10）、（00-1）六个晶面
的法线都与晶带轴垂直 我们可以将晶带轴用正点阵矢量r=ua十 vb十wc表达，晶面法向用倒易矢量表达。 由于r*与r垂直，所以： Ha Kb Lc ）（ua十vb十wc） r*· r＝（ ＝0 由此可得： Hu＋Kv＋Lw＝0 （2－47） 这也就是说，凡是属于〔uvw〕晶带的晶 面，它们的晶面指数（HKL）都必须符 合（2—47）式的条件。把这个关系式称 为晶带定律
倒易矢量的两个基本性质
（1）倒易矢量r*垂直于正点阵中的HKL
晶面； （2）倒易矢量的长度r*等干正点阵中的 H K L晶面间距dHKL的倒数。 这两个性质实际上给出了正空间中的面 与到空间中的点的一一对应关系；
立方晶系晶面间距公式经常用到
1 d
2 HKL
H K L 2 a
引入倒易点阵的作用
利用倒易点阵处理晶体几何关系和衍射
问题，能使几何关系更清楚，数学推演 更简化。 晶体点阵中的二维平面在倒易点阵中只 对应一个零维的倒易阵点，晶面间距和 取向这两个参量在倒易点阵中只用一个 倒易矢量就可以表达。 衍射花样实际上是满足衍射条件的倒易 阵点的投影，从这个意义上讲，倒易点 阵本身就具有衍射属性
d 001
同理
1
a*
=
d 100
b*
=
1 d 010
这里定义了倒易基矢量的大小与方向
倒易点阵与正点阵的倒易关系
由于方程式（2-8）和（2-9）对正点阵和倒
易点阵基矢量是完全对称的 ，所以，也可 以写成：
a 1
d 100
b
1
d 010
c
1
d 001
倒易基矢量的倒易等于正点阵基矢量
倒易点阵与其相应的正点阵具有相同类型
的坐标系
2.3 倒易矢量的基本性质
从倒易点阵原点向任一个倒易阵点所连接
的矢量称为倒易矢量 用符号r*表示 r*=H a*十K b*十L c* （2-23） 式中 H、K、L为整数，就是那点的坐标 倒易矢量是倒易点阵中的重要参量，也是 在X射线衍射中经常引用的参量
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
（4）体心点阵：用字母I表示。除八个顶点
上有阵点外，体心上还有一个阵点，阵胞 体心的阵点为其自身所独有。因此，每个 阵胞占有两个阵点，其阵点坐标分别为： 000， 。
1 2 1 2 1 2
空间点阵与晶体结构的对应关系
空间点阵十结构基元=晶体结构
为了从（2-9）式得出倒易基矢量的长度，
将（2-9）式改写成其标量形式：
1 1 1 a* b* c* aCos bCos cCos
（2-10） 式中 、ψ、ω分别为a*与a; b*与 b; c* 与c的夹角

图2-37以倒易基矢量c*为例，画出了它
与正点阵的对应关系 其中OP为c在c*上的投影，同时也是a、 b所构成的（001）晶面的面间距d001 OP=c cosω＝ d001 1 c*= 1/c cosω=
晶面指数和晶向指数
在空间点阵中无论在哪一个方向都可以画
出许多互相平行的阵点平面。如果同一方 向上的阵点平面互相平行，而且等距；各 平面上的阵点分布情况也完全相同，则在 同一方向上的阵点平面中确定某个平面的 具体位置是没有实际意义的。但是，不同 方向上的阵点平面却具有不同的特征。所 以说，阵点平面之间的差别主要取决于它 们的取向与面间距
第二章 晶体学基础
2.1 晶体学基础 2.2 倒易点阵 2.3 倒易矢量的基本性质
2.1
晶
体
学 基
础
根据阵胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲 点阵分为四类：
（l）简单点阵：用字母P表示。仅在阵胞
的八个顶点上有阵点，每个阵点同时为相 邻的八个平行六面体所共有，因此，每个 阵胞只占有一个阵点。阵点坐标的表示方 法为：以阵胞的任意顶点为坐标原点，以 与原点相交的三个棱边为坐标轴，分别用 点阵周期（a、b、c）为度量单位。阵胞顶 点的阵点坐标为000。
( K1 L2 K 2 L1 ) : ( L1 H 2 L2 H1 ) : ( H1 K 2 H 2 K1 )
在其它晶体学问题中，可以利用上式计
算晶面指数已知的两个晶面交线的晶向 指数 在倒易点阵中，同晶带的所有晶面的倒 易点，都在过原点且与晶带轴垂直的倒 易阵点平面上； 所以，每个过原点的倒易阵点平面上的 倒易阵点部属于同一晶带
已知某晶带〔uvw〕中任意两个晶面的 指数（H1K1L1）和（H2K2L2），计算晶 带轴的指数
用（2—47）式:
H1u+K1v+L1w=0 H2u+K2v+L2w=0 将这两个方程联立求解可得

u:v:w K 1 L1 K 2 L2 : L1 H 1 L2 H 2 : H 1 K1 H2K2
2 2
2
晶 带及晶带定律
晶带：在晶体结构或空间点阵中，与某一
晶向平行的所有晶面均属于同一个晶带 晶带轴：同一晶带中所有晶面的交线互相 平行，其中通过坐标原点的那条直线称为 晶带轴。 可见。定义中的晶向就是晶带轴； 晶带轴的晶向指数即为该晶带的指数。
根据晶带的定义，同一晶带中所有晶面