(完整word版)辅助角公式的推导
辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+的推导
在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ
θ+为一个角
的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学
生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式
sin cos a b θθ+
)θ?+或sin cos a b θθ+
cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个
学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法
教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1
α+cos α=2sin （α+
6π）=2cos （α-3
π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出
结论: 可见
α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.
一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θ
θ+为一个角的一个三角函数的形式.
解: asin θ+bcos θ
sin θ
cos θ),
①
=cos ?
=sin ?,
则asin θ+bcos θ
θcos ?+cos θsin ?)
θ+?),(其中tan ?=
b a
)
②
=sin ?
=cos ?,则
asin θ+bcos θ
θsin ?+cos θcos ?
θ-?),(其中tan ?=
a b
) 其中?的大小可以由sin ?、cos ?的符号确定?的象限,再由tan ?的值求出.或由tan ?=
b
a
和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.
但是这种推导方法有两个问题:
一是为什么要令
=cos ?
=sin ??让学生费解.二是这种 “规定”式的推
导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θ
θ+
)θ?+来得更自然
能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.
首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角
函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角?,它的终边经过点P.设
由三角函数的定义知 sin ?=
b r
cos ?
=a r
=
.
所以asin θ+bcos θ
? sin θ
?cos θ
)θ?+.(其中tan ?=b
a
)
2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),
如图2所示,则总有一个角?的终边经过
点P(b,a),设OP=r,则
由三
角函数的定义知
sin?=a
r
,
cos?=b r
asinθ+bcosθ
sin cos cos ?θ?θ
+
s()
θ?
-. (其中tan?=
a
b
)
例3
cos
θθ
+为一个角的一个三角函数的形式.
解:在坐标系中描点
P(,1),设角?的终边过点P,则OP
?=1
2
,cos?=
2
.
∴
cos
θθ
+=2cos?sinθ+2sin?cosθ=2sin(θ?
+
).tan?=
3
.
2
6
k
π
?π
=
+,cos
θθ
+=2sin(
6
π
θ+).
经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式
asin
θ+bcosθ=
(
sinθ+
cosθ)=
)
θ?
+,(其中tan?=
b
a
).或者
asin
θ+bcosθ=
(
sinθ+
cosθ)=
)
θ?
-,(其中tan?=
a
b
)
我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解
asinθ+bcosθ
sinθ
cosθ)的道理,以
及为什么只有两种形式的结果.
例4
化sinαα
-为一个角的一个三角函数的形式.
解法一:点
(1,-)在第四象限.OP=2.设角?过P点.
则
sin
2
?=-,
1
cos
2
?=.满足条件的最小正角为
5
3
π,
5
2,.
3
k k Z
?ππ
=+∈
1
sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)
22
55
2sin()2sin(2)2sin().
33
k
ααααα?α?
α?αππαπ
∴-=-=+
=+=++=+
解法二:点
P(-,1)在第二象限,OP=2,设角?过P点.则
1
sin
2
?=
,cos
2
?=-.满足条件的最小正角为
5
6
π,
5
2,.
6
k k Z
?ππ
=+∈
1
sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)
22
55
2cos()2cos(2)2cos().
66
k
ααααα?α?
α?αππαπ
∴-=-=+
=-=--=-
三.关于辅助角的范围问题
由sin cos)
a b
θθθ?
+=+中,点P(a,b)的位置可知,终
边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).
设满足条件的最小正角为
1
?,则
1
2k
??π
=+.由诱导公式(一)知
1 sin cos))
a b
θθθ?θ?
+=+=+．其
中1(0,2)?π∈，1
tan b
a
?=
，1?的具体位置由1sin ?与1cos ?决定，1?的大小由1tan b
a
?=决定．
类似地，sin cos )a b θ
θθ?+=-，?的终边过点Ｐ
（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2?，则22.k ??π=+由诱导公式有
2sin cos cos())a b θθθ?θ?+=-=-，其
中2(0,2)?π∈，2
tan a
b
?=
，2?的位置由2sin ?和2cos ?确定，2?的大小由2tan a
b
?=确定．
注意：①一般地，1
2??≠；②以后没有特别说明时，角1?（或2?）是所
求的辅助角．
四．关于辅助角公式的灵活应用
引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为
1sin cos )
a b θθθ?+=+的形式
或
2sin cos )a b θθθ?+=-的形式．可以利用两角和与差的正、
余弦公式灵活处理．
例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．
cos αα-；
（２）sin()cos()6363
ππαα-+-． 解：
（１）1
cos sin cos )
222(sin cos cos sin )2sin()
666
ααααπππ
ααα-=-=-=-
（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323
[sin()cos cos()sin ]333332sin()33
ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-
在本例第（１）小题中，a =1b =-
１），而取的是点Ｐ
１）
．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（
a ，
b ）
，或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的角1?（或2?）是锐角，
就更加方便．
例6 已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1
(cos(),)32
b x π=+-r ,
(sin(),0)3
c x π
=+r ,求函数()h x =2a b b c ?-?+r r r r 的最大值及相应的x
的值.
解:2
1()cos
()sin()cos()23233
h x x x x πππ
=+--+++
=
2
1cos(2)
1233sin(2)2232
x x ππ++-++ =
1212
cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++
=
22cos(2)sin(2)]222323
x x ππ+-++
=11
cos(2)2212
x π++
max
()2.2
h x ∴=+
这时1111
22,.1224
x k x k k Z ππππ+
==-∈. 此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.
五.与辅助角有关的应用题
与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.
例7 如图3,记扇OAB 的中心角为
45?,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇
形,求矩形的对角线l 的最小值.
解:连结OM,设∠AOM=
θ
.则
MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θ
θ-.
222l MQ PQ =+
=2
2sin
(cos sin )θθθ+-
=31
(sin 2cos 2)22
θθ-+
=13sin(2)22θ?-
+,其中11
tan 2
?=,1(0,)2π?∈,11arctan 2?=. 04π
θ< πθ?∴<+<+ 2min 322l ∴= - ,min 12 l -=. 所以当11 arctan 422 π θ=-时, 矩形的对角线l 的最小值为 12-. θ N B M A Q P O 图3 辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+的推导 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ θ+为一个角 的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学 生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 sin cos a b θθ+ )θ?+或sin cos a b θθ+ cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个 学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 α+cos α=2sin （α+ 6π）=2cos （α-3 π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出 结论: 可见 α+cos α可以化为一个角的三角函数形式. 一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θ θ+为一个角的一个三角函数的形式. 解: asin θ+bcos θ sin θ cos θ), ① =cos ? =sin ?, 则asin θ+bcos θ θcos ?+cos θsin ?) θ+?),(其中tan ?= b a ) ?知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下: ----------- sin 来确定。通常称式子(*)为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数冋 题，最终化为y=Asin( x )+k 的形式。 二.训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 (4) -sin .3 cos ； (2) ? ，3 sin cos 2 2 高一数学期末复习 必修 4之《辅助角公式》 y=as in x+bcosx 押a 2 b 2 (sin x ? cosx ? a ------------- =cos . a 2 b 2 0, 0,则y ,a 2 b 2(sin xcos cosxs in )Va b 2 sin(x ) 由此我们得到结论: 2 2 asinx+bcosx= . a b sin(x ),(*)其中0由 cos (3) sin cos sin(- ) ^6 cos(- 6 3 6 3 (5) 5sin 12cos (6) asinx bcosx -------------=si n a 3 2 2 的两个相邻交点的距离等于 ，则f (x)的单调递增区间是 ( ) A . [k ,k A ，k Z B. [k 11 ],k Z 12 12 12 12 C . [k , k ],k Z D. [k ,k 2 ],k Z 3 6 6 3 5. 如 果函 数 y=s in 2x+acos2x 的 图象关 于直 线x=- —对称，那么 a= () (A ) 2 (B ) ,2 (C ) 1 (D ) -1 n 6.函数 y = cos x + cos x +三 的最大值是 ___________ 3 7.已知向量 a (cos(x ),1), b 3 c (sin(x ),0),求函数 h(x)=a 2的最大值及相应的x 的值. 2 . 函 数 y = n 2s in 3 x — cos ( ) A.— 3 B .—2 C 3.若函数 f(x) (1 、_3ta nx)cosx , 0 x ( ) A. 1 B .2 C 4.( 2009安徽卷理)已知函数f(x) 3sin x cos x( n ~6 + x (x € R)的最小值等于 1 D 5 -，则f(x)的最大值为 2 .,3 1 D . ,3 2 0), y f(x)的图像与直线y 2 (cos(x -),-), 精选文库 7．已知函数()4cos sin 16f x x x π?? =+- ?? ? ，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -??? ?上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数. （1）求函数 的单调增区间； 精选文库 （2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值. 13．设函数. （1）求的最大值，并写出使 取最大值时的集合； （2）已知中,角 的边分别为 ，若 ，求的最小值. 14．已知()( ) 1 3sin cos cos 2 f x x x x ωωω= +-，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围. 15．已知a r =（sinx ，cosx ），b r =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数 f （x ）=a r ?b r 且f （3 π －x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4 π ] 上恒成立，求实数a 的取值范围． 16．已知向量a v =（2cos 2 x ω， 3sin 2x ω），b v =（cos 2x ω，2cos 2 x ω），（ω＞0），设函数f （x ）=a v ?b v ，且f （x ）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求f （x ）的单调递增区间． 17．已知函数()()sin (0,0,)2 f x A x A π ω?ω?=+>><的部分图象如图所示. （1） 求函数()f x 的解析式； （2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程; （3） 若142f α??= ???，求sin 6πα?? - ??? 的值. 18．已知函数 （1）求函数在上的单调递增区间； （2）若 且 ，求 的值。 辅助角公式的推导 辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+的推导 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ θ+为一个角的 一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生 记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 sin cos a b θθ+ )θ?+或sin cos a b θθ+ cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个 学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3 π ）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出 结论: 可见 α+cos α可以化为一个角的三角函数形式. 一般地,asin θ+bcos θ是否可以化为一个角的三角函数形式呢 2.辅助角公式的推导 例2化sin cos a b θ θ+为一个角的一个三角函数的形式. 解:asin θ+bcos θ sin θ cos θ), ① =cos ? =sin ?, 则asin θ+bcos θ θcos ?+cos θsin ?) θ+?),(其中tan ?=b a ) 高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》 一．知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx = ++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。记 a a b 2 2 +=cos θ， b a b 22 +=sin θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+ 由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（* cos ,θ= sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问 题，最终化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1 ）1sin 2αα+； （2 cos αα+； （3）sin cos αα- （4 ）sin()cos()6363 ππ αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x + 2．函数 y ＝2sin ? ???? π 3－x －cos ? ?? ?? π 6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.若函数()(1)cos f x x x =，02 x π ≤<，则()f x 的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C 1 D 2 4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈ 5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ? ????x ＋π3的最大值是________． 7.已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1 (cos(),)32 b x π=+-r , (sin(),0)3 c x π =+r ,求函数()h x =2a b b c ?-?+r r r r 的最大值及相应的x 的值. （本题中可以选用的公式有21cos 21 cos ,sin cos sin 222 a αααα+= =） 辅助角公式2010-4-7 一、教学目标 1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取 三、教学过程 1、复习?引入 两角和与差的正弦公式 ()sin αβ+=_________________________________ ()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα??+ ??? =_____________________ 反之, αα 化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 （1 1cos 2 αα+ （2 ）sin αα 2、辅助角公式?推导 对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ sin cos )) a b αααααβ+==+ 其中辅助角β 由cos sin ββ?=????=?? β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。 3、例题?反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （11cos 2αα- （2）ααcos sin + （3αα （4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα- （2）ααsin cos - （3）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)x x +++ 0360x ≤< ，求角x 的值。 例42)cos()12123x x ππ+ ++=，且 02 x π-<<，求sin cos x x -的值。 4、小结?思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定? （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的 一个三角比的形式？ 5、作业布置 (1)3cos 66ππαα????+-+ ? ????? =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式） (2) 、关于x 的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围。 (3)、已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围。 (4)、利用辅助角公式化简： ()sin801cos50??? 四、教学反思 精品文档 辅助角公式专题训练 一．知识点回顾 sin cos ) ) a x b x x x x ?+=+ =+ 其中辅助角?由cos sin ??? =? ? ?? = ?? 确定，即辅助角?的终边经过点(,)a b 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1）1sin 2αα+； （2cos αα+； （3）sin cos αα- （4sin()cos()6363 ππ αα-+-． 2、 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 3、已知函数()2cos .f x x x =-[0,],()x f x π∈求的值域 精品文档 4、函数2cos(2), [,]664y x x πππ =+∈-的值域 5、求5sin 12cos αα+ 的最值 6．求函数y ＝cos x ＋cos ? ???? x ＋π3的最大值 7.已知函数()cos (0)f x x x ωωω= +>，()y f x =的图像与直线2y =的 两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是 （过程 ( ) A.5[,],12 12k k k Z π π ππ-+ ∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈ C.[,],3 6 k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],6 3 k k k Z ππππ++∈ （果 过程 精品文档 参考答案 1.（6） sin cos ) ) a x b x x x x ?+==+ 其中辅助角?由cos sin ??? =? ? ??= ? ? 确定，即辅助角?的终边经过点(,)a b 2.[答案] C [解析] y ＝2sin ????π3－x －cos ??? ?π 6＋x ＝2cos ????π6＋x －cos ??? ?π 6＋x ＝cos ??? ?x ＋π 6(x ∈R )． ∵x ∈R ，∴x ＋π 6∈R ，∴y min ＝－1. 3.答案：B 解析 因为()(1)cos f x x x ==cos x x +=2cos()3 x π - 当3 x π = 是，函数取得最大值为2. 故选B word图片不显示或显示不全怎么办 ?我们日常工作使用word的时候，偶尔会突然发现一个奇怪的问题，就是把图片复制到word里之后，就是不显示或是显示半截，显示不全，怎么弄也显示不出来。今天我百思不得其解，请教了公司高手后恍然大悟，特此来分享给大家。如果你也碰到类似的问题，赶紧学习学习吧。 只显示一半截 1. 1 ?复制图片粘贴到word之后，发现总是只显示一点点，显示不全，就这么一半截，点到图片上面，其它的部分是框框，急死了，怎么办？赶紧看下面。 2. 2 ?告诉原因是：这个word文档设定了固定的行距而导致的，上面的显示永远显示的一小半截其实就是一行的宽度，是不是。 那么接下来，我们就来解决这个问题吧：选择图片，在开始界面，点击如图所示段落下面的小箭头。 3. 3 ?在弹出的段落格式对话框中，你会发现，它的行距是设定的固定值，如图所示。如果你的也是，那么也是这个问题了。 4. 4 ?那么，接下来就简单了，直接修改行距，把固定值修改为其它任何一个都行，我这里就选择了1.5倍行距为例。都一样的，不影响。 5. 5 ?确定之后，你回到word图片，就会发现你的图片显示完全了吧，轻松搞定！ END 完全不现实 1. 1 ?有时候我们接到同事一个word，打开发现图片完全不显示，只有一个框框，连像上面说的半截，一行都没有，那这又是怎么回事呢？下面解释： 2. 2 ?其实，这个也是word里的一个简单设定搞的鬼，就是word里显示图片框的设置来决定的。是不是就显示一个框。 那么我么开始操作：点击word左上角office标准，下拉菜单——》word选项，如图。 3. 3 ?在弹出的对话框中，选择高级——》下拉滚动一下，看到显示文本内容——》你会看到一个显示图片框的选项给勾选上了，把勾去掉就可以了。如图。 4. 4 ?确定之后，你就会发现，一切又恢复正常了。搞定！ 你学到了吗？ 辅助角公式 一． 合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B = A ． 二． 练习 1.x x y cos sin += 2. x x y cos sin 3+= 3. x x y 3cos 3sin 3+= 4. x x y 2cos 2sin += 5. x x y cos 23sin 21+= 6. )cos (sin 2x x y -= 7. x x y sin 6cos 2-= 8. x x y cos 53sin 153+= 9. )4 cos(46)4sin(42x x y -+-=ππ 10. x x y 2cos 2sin 23+= 11. ()x x x y cos sin cos 2+= 12. 4 3cos 33sin cos 2+-??? ?? +=x x x y π 13. x x y sin 2 3cos 23-= 14.已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+- ???，ππ42x ??∈???? ，． （I ）求()f x 的最大值和最小值； （II ）若不等式()2f x m -<在ππ42 x ??∈????，上恒成立，求实数m 的取值范围． 分析：观察角，单角二次型，降次整理为sin cos a x b x +形式． 解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ? ???=-+=+ ??????? ∵ π12sin 23x ??=+- ?? ?． 又ππ42x ??∈????，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ??+- ???≤≤， max min ()3()2f x f x ==，∴． （Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x --∴且min ()2m f x <+， 14m <<∴，即m 的取值范围是(1 4)，． 15. （1）已知1sin sin 3 x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值． （2）求函数sin cos sin cos y x x x x =?++的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题． 解：（1）由已知得：1sin sin 3y x = -，sin [1,1]y ∈-，则2sin [,1]3 x ∈-． 22111sin cos (sin )212y x x ∴-=--，当1sin 2x =时，2sin cos y x -有最小值1112 -；当2sin 3x =-时，2sin cos y x -有最小值49． （2）设sin cos x x t +=(t ≤≤，则21sin cos 2t x x -?=，则21122 y t t =+-，当 t =时，y 有最大值为12 + 三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π?? =-+ ?? ? ， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34ππ?? -??? ?上的单调性. 2．已知函数( )4sin cos 3f x x x π?? =+ ?? ? （1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46ππ?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数( )4tan sin cos 23f x x x x ππ??? ?=-- ? ???? ? （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ?? -???? 上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数( )2 sin cos 2 f x x x x =+- . （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??????=- +-+ ? ? ?? ?? ??? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122?? -??? ?上的值域. 6．已知函数( )21 cos cos 2 f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[] 0,π上的单调区间. 7．已知函数()4cos sin 16f x x x π? ?=+- ?? ?，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数 . 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：α ααcos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+αα，221cos 1tan αα=+ 三、诱导公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan（-α）= -tanα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα 公式六： 2 π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cosα cos（2 π-α）= sinα sin （2π+α）= cosα cos（2 π+α）= -sinα sin （ 23π-α）= -cosα cos（2 3π-α）= -sinα sin （23π+α）= -cosα cos（23π+α）= sinα 三、两角和差公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 四、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-其它公式 五、辅助角公式： )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a （其中a b =?tan ） 其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上k ∈Z) 六、其它公式： 1、正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2、余弦定理 A bc c b a cos 2222?-+= 辅 助 角 公 式 专 项 训 练（主观题安徽2012高考数学） 1.已知函数1()sin cos 44f x x x = -。 （1）若5cos 13x =-，,2x ππ??∈???? ，求()f x 的值； （2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值。 2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222 f x x x π???=+-+(0)?π<<，其图像过点1(,)62π。 (1)求的?值； (2)将()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0, 4π??????上的最值。 3.已知函数()2cos sin()32 f x x x π =+-。 （1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合； （2）求函数()f x 图像的对称轴方程。 4.已知函数2()2cos sin cos f x a x b x x =+，且(0)f =，1()42 f π=。 （1）求()f x 的单调递减区间； （2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？ 5.设22()cos()2cos ,32 x f x x x R π=++∈。 （1）求()f x 的值域；（2）求()f x 的对称中心。 6.已知()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ =-+-+。 （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间,122ππ??- ????上的值域。 7.已知函数11()cos()cos(),()sin 23324 f x x x g x x ππ=+-=-。 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合。 8.设2()sin()cos 1468f x x x πππ =--+，若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线x=1对称，求当40,3 x ??∈????时，()y g x =的最大值。 9.已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-。 （1）求()3 f π 的值；（2）求()f x 的最值。 10.已知向量(sin ,cos )m A A =r ，1)n =-r ，1m n =r r g ，且A 为锐角。 （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x x A x R =+∈的值域。 关于辅助角公式的一个定理及其应用 定理1 设函数)0(cos sin )(2 2 ≠++=b a x b x a x f ，则 (1)当且仅当??? ?? ?? += +=2222cos sin b a b x b a a x 时，2 2max )(b a x f +=； (2)当且仅当??? ? ? ?? +- =+-=2222cos sin b a b x b a a x 时，22min )(b a x f +-=． 证法1 因为12 222 2 2=??? ? ??++???? ??+b a b b a a ，所以可设??sin , cos 2 2 2 2 =+=+b a b b a a ，得 )(sin cos sin cos sin )(22222 222?++=??? ? ??++++=+=x b a x b a b x b a a b a x b x a x f (1) (1)当且仅当∈+=+k k x (22π π?Z )即??? ?? ?? += =+==2222sin cos cos sin b a b x b a a x ??时， 22max )(b a x f +=． (2)当且仅当∈-=+k k x (22π π?Z )即??? ?? ??+- =-=+-=-=2222sin cos cos sin b a b x b a a x ??时， 22min )(b a x f +-=． 证法2 因为函数)0(cos sin )(2 2 ≠++=b a x b x a x f 可化成 )(sin )(22?++=x b a x f 的形式，所以 0x 是)(x f 的最值点0x ?是)(x f 的极值点000cos sin 0)(x a x b x f =?='? 辅助角公式Revised on November 25, 2020 推导 对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形 ，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则 ，因此 就是所求辅助角公式。 又因为 ，且-π/2<φ<π/2，所以 ，于是上述公式还可以写成 该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况） ，设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则 ，因此 同理， ，上式化成 若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则 再根据 得 记忆 很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。 其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。 例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。 疑问 为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。 提出者 ，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用。同治七年，李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献。 李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献。 继之后，李善兰成为清代数学史上的又一杰出代表。他一生翻译西方科技书籍甚多，将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入中国，对促进近代科学的发展作出卓越贡献。[1] 公式应用 例1 求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值 解：设sinθ/(2cosθ+√5)=k 则sinθ-2kcosθ=√5k ∴√[1+(-2k)2]sin(θ+α)=√5k 平方得k2=sin2(θ+α)/[5-4sin2(θ+α)] 令t=sin2(θ+α) t∈[0,1]则k2=t/(5-4t)=1/(5/t-4) 当t=1时有kmax=1 辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化 例2 化简5sina-12cosa 解：5sina-12cosa =13(5/13*sina-12/13*cosa) =13(cosbsina-sinbcosa) =13sin(a-b) 其中，cosb=5/13,sinb=12/13 例3 π/6≤a≤π/4 ,求sin2a+2sinacosa+3cos2a的最小值 辅助角公式 一、教学目标 1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取 三、教学过程 1、复习?引入 两角和与差的正弦公式 ()sin αβ+=_________________________________ ()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα??+ ??? =_____________________ 反之, αα 化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 （1 1cos 2 αα+ （2 ）sin αα 2、辅助角公式?推导 对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ sin cos )) a b αααααβ+==+ 其中辅助角β 由cos sin ββ?=????=?? β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。 3、例题?反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （11cos 2αα- （2）ααcos sin + （3αα （4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα- （2）ααsin cos - （3）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。 例42)cos()12123x x ππ+ ++=，且 02 x π-<<，求sin cos x x -的值。 4、小结?思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定? （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的 一个三角比的形式？ 5、作业布置 (1)3cos 66ππαα????+-+ ? ????? =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式） (2) 、关于x 的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围。 (3)、已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围。 (4)、利用辅助角公式化简： ()sin801cos50??? 四、教学反思 辅助角公式的解说-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 高中数学疑难分析解说： 关于辅助角公式的解说 对于辅助角公式，大家都很熟悉。公式如下：)sin(cos sin 2 2?ααα++= +b a b a 其中：a b =?tan 。 但是在实际运用中，最让大家感到头疼的是关于辅助角?的大小确定。下面就此公式的实际运用作如下解说。 一、 辅助角使用的准备 （1） 顺序：要使正弦在前，余弦在后； （2） 系数：分析好a 、b ，正弦系数为a 、余弦系数为b 。 二、 象限的确定 （1） 当a 、b 都是正数时，?在第一象限！ （2） 当a 、b 都是负数时，?在第三象限！ （3） 当a 是正数，b 是负数时，?在第四象限！ （4） 当a 是负数，b 是正数时，?在第二象限！ （5） 规律：x y a b == ?tan ，利用x 、y 的正负确定象限。 三、 b a 22+的确定（系数，相当于辅助直角三角形中的斜边长） （1） b a 22+的大小不管a 、b 符号如何，b a 22+始终是正数。 （2） b a 22 +的大小与a 、b 顺序无关。 （3） 1||||==b a 时， 222=+b a （4） 2||||==b a 时，2222 =+b a （5） 2||1||==b a ，时，52 2=+b a （6） 23||21||==b a ，时，122=+b a （7） 36||33||==b a ，时，122=+b a （8） 3||1||==b a ，时，222=+b a 三、?角的大小确定 （1） 1=a b ，4π?=或45π?=（4 ππ+k ） （2）1-=a b ，43π?=或4π?-=（4ππ-k ） （3）33=a b ，6π?=或67π?=（6 ππ+k ） （4） 33-=a b ，65π?=或6π?-=（6ππ-k ） （5）3=a b ，3π?=或34π?=（3 ππ+k ） （6）3-=a b ，32π?=或3π?-=（3 ππ-k ） 四、例说辅助角的运用 （一）?+?75sin 15sin （2015年四川高考题）来分析： 分析：先由诱导公式化为：?+?=?+?cos15sin1575sin 15sin ，然后直接利用辅助角公式得： 2 6232sin602)45sin(152cos15sin1575sin 15sin =?=??=?+?=?+?=?+? （二）公式的灵活运用 （1）直接运用辅助角公式 ?=?+?=?+?sin502)45sin(52cos5sin5 （2）化系数，利用两角和的三角函数变换 ?=?+?=??+??=?+?=?+?sin502)45sin(525cos 45sin sin5(cos452)cos52 2sin522(2cos5sin5）（3）化系数，利用两角和的三角函数变换 ?=?-?=??+??=?+?=?+?cos402)5cos(4525sin 45sin cos5(cos452)sin52 2cos522(2cos5sin5）（三）拓展分析 ?-?5sin cos5的思考： （1）利用辅助角公式 ?=?--=?-?-=?-?-=?-?sin40240sin(2)455sin(2)5cos 5(sin 5sin cos5） （2）利用辅助角公式 ?=?=?+?=?+?-=?-?sin402140sin(2)1355sin(25cos 5sin 5sin cos5） （3）利用两角和计算 ?=?=??-??=?-?=?-?sin40250cos 2)5sin 45sin 5cos 45(cos 2)5sin 2 25cos 22(25sin cos5（4）利用两角和计算 三角函数公式大全及其推导 1. 三角函数的定义 由此，我们定义： 如Figure I, 在ΔABC 中 sin ( ) cos () tan ()1 1 cot ()tan 11 sec ()cos 11 csc ()sin b c a c b a a b b a c a a c c b b c θθθθθθθθθθθθθθθ ∠=∠= ∠= ∠= ==∠= ==∠= ==对边 的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边 邻边的余切值：对边斜边的正割值：邻边斜边的余割值：对边 备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表 A c b θ Figure I 示时，不能省略。在本文中，我们只研究sin 、cos 、tan 。 2. 额外的定义 222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ=== 3. 简便计算公式 22sin cos cos(90)cos sin sin(90) 111 tan tan tan(90) sin cos 1b A c c A b b a a A b θθθθθθθθ= ==-∠===-∠==== -∠+=o o o 证明： 222 22 22222901sin sin 1sin cos 1 ABC ABC a b c a b c c B A θθ?∠=∴+=∴+=∴+=∴+=o Q 在中, 证完 222 222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos cos b b c a a c θθθ θθθθθθ === +=+= 4. 任意三角形的面积公式 如Figure II , C a b h Figure II(完整word版)辅助角公式的推导
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