辅助角公式专题训练

辅助角公式专题训练

教学目标

1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式

2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式

教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取

教学过程

一、复习引入

（1）两角和与差的正弦公式

()sin αβ+=_______________________； ()sin αβ-=________________________.

（2）利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=___________________；

αα=____________. 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式

（1

1cos 2

αα+ （2

）sin αα

二、辅助角公式的推导

对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？

)sin()cos sin (cos sin 2

2222222βααααα++=++++=+b a b a b b a a

b a b a 其中辅助角β

由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ，我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角.

三、例题反馈

例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.

（1

1cos 2

αα- （2）ααcos sin +

（3

αα （4）ααcos 4sin 3-

例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.

（1）sin cos αα- （2）ααsin cos -

（3）cos αα-

例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值.

例42)cos()12123

x x ππ+

++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值.

四、小结思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定?

（2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的一个三角比的形式？

五、作业布置

1. 3cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

化为)sin(βα+A ()0A >的形式 =________________ .

2. 关于x 的方程12sin x x k

=有解，求实数k 的取值范围.

3. 已知46sin 4m x x m

-=

-，求实数m 的取值范围.

4. 利用辅助角公式化简：()

sin801cos50︒︒︒

5. 已知函数1()sin cos 44f x x x =-.（1）若5cos 13x =-，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，求()f x 的值；（2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值.

6. 已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222

f x x x πϕϕϕ=

+-+(0)ϕπ<<，其图像过点1(,)62π （1）求的ϕ值；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到 函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,

4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上的最值.

7. 已知函数()2cos sin()32

f x x x π

=+-.（1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合；（2）求函数()f x 图像的对称轴方程.

8. 已知函数2()2cos sin cos f x a x b x x =+，且(0)f =，1()42

f π=.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？

9. 设函数22()cos()2cos ,32x f x x x R π=+

+∈.（1）求()f x 的值域；（2）求函数()f x 图像的对称中心坐标.

10. 已知函数()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x πππ=-+-+.（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-

⎢⎥⎣⎦上的值域.

11. 已知函数11()cos()cos(),()sin 23324

f x x x

g x x ππ=+-=-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()()()

h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合.

12. 设函数2()sin()cos 1468f x x x πππ

=--+，若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线x=1对称，求当40,3

x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y g x =的最大值.

13. 已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-.（1）求()3

f π

的值；（2）求函数()f x 的最值.

14. 已知向量(sin ,cos )m A A =，(3,1)n =-，1m n =，且A 为锐角.

（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x x A x R =+∈的值域.