第五章-定积分及其应用
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第五章 定积分及其应用
5.1 定积分的概念
设函数)(x f 在[]b a ,上有界,在[]b a ,上任意插入若干个分点
b x x x x a n n ==- 110把区间[]b a ,分成n 个小区间[]10,x x ,[]21,x x ,
,
[]n n x x ,1-,则各个小区间的长度依次为011x x x -=∆,122x x x -=∆, ,
1--=∆n n n x x x ,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ(i i i x x ≤≤-ξ1),做函数值)(i f ξ与小区间长i x ∆的乘积)(i f ξi x ∆(n i ,,2,1 =)并作出和∑=∆=n
i i i x f S 1)(ξ。记{}n x x x ∆∆∆=,,,m ax 21 λ,如果不论对[]b a ,怎
样划分,也不论i ξ怎样选取,只要当0→λ时,极限∑=→∆n
i i
i x f 1
)(lim ξλ存在,则函数)(x f 在[]b a ,上可积,记为∑⎰=→∆=n
i i
i b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ。
其中[]b a ,称为积分区间,)(x f 为被积函数,dx x f )(为被积表达式,x 为积分变量。
(1)定积分的实质是和式极限,是一个确定的数值。它只与被积函数和积分区间有关,与积分变量无关。
(2)区间的划分和点的选取是任意的,但是在实际过程中经常“均分,端点取”
(3)函数)(x f 可积的充分条件:
①若函数)(x f 在[]b a ,上连续,则)(x f 在[]b a ,上可积。 ②若函数)(x f 在[]b a ,上有界且只有有限个间断点,则)(x f 在 []b a ,上可积。
(4)函数)(x f 可积的必要条件:
若函数)(x f 在[]b a ,上可积,则函数)(x f 在[]b a ,上有界。 (5)定积分的几何意义:dx x f b
a ⎰)(表示由曲线)(x f y =,直线
a x =,
b x =以及x 轴所围成的面积的代数和。
备注:定积分的结果可正可负可为零。
例1:求极限⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
-+
+-+
-∞→222
22
41
2411
41
lim n n n n n 例2:求极限⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++∞
→n n n n n n n sin 2sin 21sin 1lim
2 例3:求定积分dx x ⎰-1
21
例4:求定积分)())((a b dx x b a x b
a
⎰--
例5:设)(x f 连续且dx x f x x x f ⎰--=1
022)(13)(,求)(x f
5.2 定积分的性质 (1)dx x f dx x f a
b
b
a ⎰⎰-=)()(
(2)0)(=⎰dx x f a
a
(3)[]dx x g dx x f dx x g x f b
a
b
a b
a ⎰⎰⎰±=±)()()()(
(4)dx x f k dx x kf b
a b
a ⎰⎰=)()(
(5)dx x f dx x f dx x f b c
c a
b
a
⎰⎰⎰+=)()()((c 也可以[]b a ,外)
备注:积分区间的可加性适用于被积函数中含有max ,min ,
,[]等符号以及被积函数为分段函数。
(6)a b dx b
a -=⎰(几何意义:由区间[]
b a ,的长为底,1)(≡x f 为 高矩形的面积)
(7)设b a ≤,)()(x g x f ≤(b a ≤),则dx x g dx x f b
a b
a
⎰⎰≤)()(。
推论:①设b a ≤,0)(≥x f (b a ≤),则0)(≥⎰dx x f b
a
。
②设b a ≤,dx x f dx x f b
a
b
a
⎰⎰≤)()(
(8)设b a ≤,M x f m ≤≤)((b a ≤),则)()()(a b M dx x f a b m b
a -≤≤-⎰
(9)定积分中值定理:设函数
)(x f 在[]b a ,上连续,则存在
[]b a ,∈ε,使得)()()(εf a b dx x f b
a -=⎰。
备注:
dx x f a
b b
a ⎰-)(1称为函数)(x f 在[]
b a ,上的平均值。 例6:证明:01lim
1
02
=+⎰
∞→dx x
x n n
例7:估计下列定积分的值 (1)dx e x
x ⎰-0
22
(2)⎰+-1
3
2
4x
x dx
例
8:设dx x x x M ⎰-⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=4
/4/841tan ππ,()
d x x x x N ⎰-+++=4/4/28)1ln(sin ππ, ()
d x x
e x e x P x x ⎰
---+=4
/4
/8
cos cos tan
ππ,则有()
(A )M N P (B )M P N (C )P M N (D )N M P 5.3 微积分基本公式 5.3.1 积分上限函数 设函数
)
(x f 在[]b a ,上连续,x 是[]b a ,上任意一点,则
dt t f x x a
⎰=)()(φ称为积分上限函数。
备注:dt t f x x
a
⎰=)()(φ的几何意义是由曲线)(x f y =,直线a x =,x
轴以及右侧直线可以移动的面积的代数和。 5.3.2 积分上限函数的性质
(1)若函数)(x f 在[]b a ,上可积,则dt t f x x
a ⎰=)()(φ在[]
b a ,上连续。 (2)若函数)(x f 在[]b a ,上连续,则dt t f x x
a ⎰=)()(φ在[]
b a ,上可导。
(3)微积分基本定理: