工程热力学经典例题-第四章_secret

4．4 典型例题精解

４.４.１ 判断过程的方向性，求极值

例题 ４－１ 欲设计一热机，使之能从温度为973K 的高温热源吸热2000kJ ，并向温度为303K 的冷源放热800kJ 。（１）问此循环能否实现？（２）若把此热机当制冷机用，从冷源吸热800K ，能否可能向热源放热2000kJ ？欲使之从冷源吸热800kJ,至少需耗多少功？

解 （１）方法１：利用克劳修斯积分式来判断循环是否可行。如图４－5a 所示。

12r

12||||2000kJ 800kJ

-=-0.585kJ/K <0973K 303K

Q

Q Q T T T δ=

-=⎰

所以此循环能实现，且为不可逆循环。

方法２：利用孤立系统熵增原理来判断循环是否可行。如图４－5a 所示，孤立系由热源、冷源及热机组成，因此

iso H L E E 0S S S S S ∆=∆+∆+∆∆= （a ）

式中：和分别为热源及冷源的熵变；为循环的熵变，即工质的熵变。因为工质经循环恢复到原来状态，所以

E 0S ∆= （b ） 而热源放热，所以 1H 1||2000kJ

2.055kJ/K 973K

Q S T ∆=-=-=- （c ） 冷源吸热，则 2L 2||800kJ 2.640kJ/K 303K

Q S T ∆=

== （d ） 将式（b ）、（c ）、（d ）代入式（a ），得

( 2.055 2.6400)kJ/K 0sio S ∆=-++> 所以此循环能实现。

方法３：利用卡诺定理来判断循环是否可行。若在1T 和2T 之间是一卡诺循环，则循环效率为

2c 1303K 1168.9%973K

T T η=-

=-= 而欲设计循环的热效率为

12t 11||||||||

W Q Q Q Q η-=

= c 800kJ

160%2000kJ

η=-

=<

即欲设计循环的热效率比同温度限间卡诺循环的低，所以循环可行。

（２）若将此热机当制冷机用，使其逆行，显然不可能进行，因为根据上面的分析，此

热机循环是不可逆循环。当然也可再用上述３种方法中的任一种，重新判断。

欲使制冷循环能从冷源吸热800kJ ，假设至少耗功min W ，根据孤立系统熵增原理，此时，

iso 0S ∆=参见图４－5b

12iso H L R 12

||||

0Q Q S S S S T T ∆=∆+∆+∆=

-+ min 2min 12||||800kJ+800kJ

0973K 303K

Q W Q W T T +=

-=-= 于是解得 min 1769kJ W =

讨论

（１）对于循环方向性的判断可用例题中３种方法的任一种。但需注意的是：克劳修斯 积分式适用于循环，即针对工质，所以热量、功的方向都一工质作为对象考虑；而熵增原理适用于孤立系统，所以计算熵的变化时，热量的方向以构成孤立系统的有关物体为对象，它们吸热为正，放热为负。千万不要把方向搞错，以免得出相反的结论。

（２）在例题所列的３种方法中，建议重点掌握孤立系熵增原理方法，因为该方法无论对循环还是对过程都适用。而克劳修斯积分式和卡诺定理仅适用于循环方向性的判断。

例题４－２ 已知Ａ、Ｂ、Ｃ３个热源的温度分别为500K 、400K 和300K ，有可逆机在这３个热源间工作。若可逆机从Ａ热源净吸入3000kJ 热量，输出净功400kJ ，试求可逆机与Ｂ、Ｃ两热源的换热量，并指明其方向。

分析：由于在Ａ、Ｂ、Ｃ间工作一可逆机，则根据孤立系熵增原理有等式iso 0S ∆=成立；又根据热力学第一定律可列出能量平衡式。可见２个未知数有２个方程，故该题有定解。关于可逆机于B 、C 两热源的换热方向，可先假设为如图４－６所示的方向，若求出的求知量的值为正，说明实际换热方向与假设一致，若为负，则实际换热方向与假设相反。

解 根据以上分析，有一下等式成立.

A B c c

A B iso A B c

0Q Q Q W

Q Q Q S T T T +=+-∆=

-+= 即

B c c B

3000kJ 400kJ

3000kJ 0500K 400K 300K

Q Q Q Q +=+--+= 解得

B C 3200kJ 600kJ

Q Q =-=-

即可逆机向Ｂ热源放热3200kJ ，从Ｃ热源吸热600kJ 。

例题４－３ 图４－７所示为用于生产冷空气的设计方案，问生产1kg 冷空气至少要给

装置多少热量H,min Q 。空气可视为理想气体，其比定压热容1kJ/(kg K)P c =⋅。

解 方法１

见图４－７，由热力学第一定律的开口系的能量平衡式为 H 3L 4P P Q mc T Q mc T +=+ 即 L H 34()P Q Q mc T T =+-

由热力学第二定律，当开口系统内进行的过程为可逆过程时，可得 iso H L air 0S S S S ∆=∆+∆+∆= 即

H,min H,min 344

12

3

H,min

H,min ()

ln

01kg 1kJ/(kg K)(313-278)K

1500K

300K 278K

1kg 1kJ/(kg K)ln

0313K

P P Q Q mc T T T mc T T T Q Q +--

+

+=+⨯⋅⨯-

+

+⨯⋅=

解得生产1kg 冷空气至少要加给装置的热量为 H,min 0.718kJ Q =

方法２

参见图４－８，可将装置分解为一可逆热机和一可逆制冷机的组合。对于可逆制冷机

12

12H

3

Q W Q Q Q T T δδδδδ=+=

由此得系统对外作功为 H H 2p 333

(

1)(1)d T T

W Q mc T T T δδ=-=-- 空气自3313K T =变化到4278K T =时 4

3

H 4p 3p H 33

(

1)d ln 142.87kJ T T T T

W mc T c T T T =

-==-⎰

可求得 H H H 21500K

'||142.87kJ 178.59kJ 1500K-300K

T Q W T T =

=⨯=-

1234||||()P Q W Q W mc T T =+=+-

142.87kJ 1kg 1kJ/(kg K)(313-278)K 177.87kJ =+⨯⋅⨯=