数据结构第七章图

如果用来表示稀疏图，则会造成较大的空间浪费。 p146 图7-14
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算法与数据结构 第七章
7.2.2 邻接表
图的邻接矩阵表示法虽然有其自身的优点，但当图的 边数较少时，邻接矩阵就会出现大量的0元素，存储这些0 元素将耗费大量的存储空间。因此，对于稀疏图，可以用
邻接表去存储。
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表结点
TD(v0)=2 TD(v1)=3 TD(v2)=3 TD(v3)=2 TD(v4)=2
表头结点
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（1）若无向图中有 n 个顶点、e 条边，则其邻接表需 n
个头结点和2e 个表结点。 所以无向图的边数等于所有表结点个数之和的一半。 （2）无向图中顶点 vi 的度为第 i 个单链表中的结点数目。
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13. 边的权 图的边（或弧）带有与该边相关的数据信息。 通常权是非负实数，可以表示从一个顶点到另一个顶点的 距离或耗费等信息。
14. 网
边（或弧）上带权的图称为网
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15. 路径与回路 （1）路径 在图G中，从顶点vi出发，经过一系列的边或弧能够到 达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶 点vj的路径。
17. 强连通图与强连通分量（有向图） （1）强连通图 在有向图中，对于任意一对顶点vi和vj，若从vi到vj，及 vj到vi都有路径，称该有向图是强连通图。
强连通图
非强连通图
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（2） 强连通分量
有向图的极大强连通子图称为强连通分量。
强连通图的分量只有一个，就是其本身。 非强连通图的连通分量有多个。
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5. 无向完全图 若图G是具有n个顶点，e条边的无向图，则其顶点数与 边数的关系为：
0 e n(n 1) / 2
把恰有n(n-1)/2条边的无向图称为无向完全图。
无向完全图
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6. 有向完全图 若图G是具有n个顶点，e条边的有向图，则其顶点数与 边数的关系为：
2. 邻接矩阵的复杂度分析
采用邻接矩阵表示图，直观方便，运算简单。
（1）时间复杂度
边查找：对于查找图中任两个顶点i和j之间有无边，以及边上的
权值，可根据i, j的值随机查找，时间复杂性为O(1)。
顶点度计算：计算一个顶点的度（或入度、出度）和邻接点，
其时间复杂性为O(n)。
（2）空间复杂度：O(n2)
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（2）有向图的邻接表
OD(v0)=2
OD(v1)=0 OD(v2)=1 OD(v3)=1 ID(v0)=1 ID(v1)=1 ID(v2)=1 ID(v3)=1
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邻接表：
（1）有向图中顶点 vi 的出度为第 i 个单链表中的结点数
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TD(v0)=2, TD(v1)=3……
TD(v0)=OD(v0)+ID(v0)=2+1=3
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12. 子图
设有两个图G=（V，E）、G1=（V1，E1），若
V 1 V 且E1 E
则称 G1是G的子图；
(b)、(c) 是 (a) 的子图
顶点 vi 的入度是邻接矩阵中第 i 列中 1 的个数。
OD(v0)=2 OD(v1)=1 OD(v2)=1 OD(v3)=1 ID(v0)=2
ID(v1)=1
ID(v2)=1 ID(v3)=1
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（3）网的邻接矩阵
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7.1.1 图的定义
有序偶:有先后 顺序的一对数。
一个图（Graph）是一个序偶<V, E>，记为G = <V, E> 其中： （1）V = {v1, v2, …, vn}是有限非空集合，vi称为顶点，V称为 结点集。 （2）E是有限集合，称为边集。 E中的每个元素都是V中顶点偶对，称之为边。
2. 邻接表的空间复杂度分析
在图的邻接表和逆邻接表表示中，
（1）表头需要占用n个头结点的存储空间，所有边结点需要占 用2e（对于无向图）或e（对于有向图）个边结点空间，所以其
TD(v0)=2 TD(v1)=3
TD(v2)=2
TD(v3)=2 TD(v4)=3
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（2）有向图的邻接矩阵
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特点： 有向图邻接矩阵不一定对 称；
有向图中 ： 顶点 vi 的出度是邻接矩阵中第 i 行中 1 的个数。
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无向图G1
顶点集合V1={v0,v1,v2,v3,v4}； 边集合E1={(v0,v1),(v0,v3),(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3)(v2,v4)}；
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3.有向边
若顶点vi，vj之间的边有方向，则称这条边为有向边（弧），
一般情况下，图的路径不唯一。
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v1到v4的路径： (v1,v2,v4)
(v1,v3,v4)……
v1到v4的路径： (v1,v2,v3,v4) (v1,v4) (v1, v2,v5,v4)……
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（2）简单路径 在一条路径中若没有重复相同的顶点，该路径称为简单 路径。
当图带权（网）时：
w ij 若(vi , v j ) E AdjMatrix[i, j] 其他情况
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（1）无向图的邻接矩阵
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特点：
无向图的邻接矩阵对称，可压缩存储； 无向图中顶点 vi 的度是邻接矩阵中第 i 行 中1 的个数。
强连通分量
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非强连通图的多个强连通分量
算法与数据结构 第一章
7.2 图的存储结构
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图的信息
• 顶点的数据 • 顶点间的关系
顶点信息
• 顶点值
边的信息
• 邻接矩阵 • 邻接表 • 等
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1. 邻接表的定义
邻接表是一种顺序存储与链式存储相结合的存储方
法，顺序存储部分用来保存图中顶点的信息，链式存储 部分用来保存图中边（或弧的信息）。
表头结点：图中的顶点，用一个一维数组存放 邻接表 表结点 ：邻接顶点在数组中的索引
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（1）无向图的邻接表
用尖括号表示为<vi,vj>。 弧的方向规定为从起点到终点，并用箭头表示。
vi vi vi vj
起点 弧尾
终点 弧头
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4. 有向图
如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为
有向图。
有向图G2
顶点集合V2={v0 v1, v2, v3}； 弧集合E2={ <v0,v1> , <v0,v2>, <v2,v3>, <v3, v0> }；
（3）路径长度 在非带权图中，路径上边或弧的数目称为该路径长度； 在带权图中，路径长度是路径中各弧上的权之和。
(v1,v2,v4,v1,v3,v4)
路径长度为5
(a,b,e,d)
路径长度为 1320+850+1670
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（4）回路 若路径上第一个顶点 与最后一个顶点 重合, 则称这样的 路径为回路或环。
目。 （2）顶点 vi 的入度为整个单链表中邻接点域值是i 的结 点个数。 找出度易，找入度难。 （3）图的弧数等于所有表结点个数之和。
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为了便于求顶点的入度，可以定义逆邻接表： 以顶点vi为终点建立邻接表。
ID(v0)=1
ID(v1)=1
ID(v2)=1 ID(v3)=1 OD(v0)=2 OD(v1)=0 OD(v2)=1 OD(v3)=1
简单路径： (v1,v2,v4) (v1,v3,v4) 非简单路径 (v1,v2,v4,v1,v3,v4)
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简单路径 (v1,v2,v3,v4)
(v1,v4)
(v1, v2,v5,v4) 非简单路径
(v1, v2,v3,v5,v2)
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逆邻接表： （1）顶点 vi 的入度为第 i 个单链表中的结点个数。 （2）顶点 vi 的出度为整个单链表中邻接点域值是i 的结点 个数。 找入度易，找出度难。
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（3）网的邻接表
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7.2.1 邻接矩阵
顶点：用一个一维数组存放 图
邻接矩阵
边 ：用一个二维数组存放
有向图邻接矩阵
邻接矩阵
无向图邻接矩阵
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1. 邻接矩阵的定义
假设图G=(V, E)有n个顶点，则邻接矩阵AdjMatrix是一个 n×n的方阵，定义为：
1 若(vi , v j ) E（或<vi , v j > E） AdjMatrix[i, j] 0 其他情况
0 e n(n 1)
把恰有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图。
有向完全图
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7. 稀疏图 边数相对较少（ e n log2 ）的图称为稀疏图。
n
8. 稠密图 边数相对较多的图称为稠密图。
9. 邻接点
边的两个顶点。 10. 关联边
若边e= (v, u), 则称顶点v、u 关联边e。
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当图的边集为空时，图G还是否存在？
还存在，但此时图G只有顶点，即图有无边、只有
点的情形。 图的定义的说明：
P140 （1）、（2）、（3）
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7.1.2 图的基本术语
1.无向边 若顶点vi，vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用 圆括号表示为(vi,vj))或(vj,vi)，两个表示相同。 2. 无向图 如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为 无向图。
回路：
(v1,v2,v4,v1)
(v1,v3,v4,v1) (v1,v2,v4,v1,v3,v4,v1) 回路：
(v1,v2,v5,v4,v1)
(v1,v4,v3,v2,v1)
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算法与数据结构 第七章
（5）简单回路(简单环) 在 一个回路中，除第一个与最后一个顶点之外，其余项 点不重复出现的回路称为简单回路(简单环)。
(v1,v2,v4,v1,v3,v4,v1)不是简单回路
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16. 连通图与连通分量（无向图） （1）连通图 在无向图中，如果从顶点vi到顶点vj有路径，则称vi和vj连 通。如果图中任意两个顶点之间都连通，则称该图为连通 图，否则，称该图为非连通图。
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第七章 图
7.1 图的定义与基本术语
目 录
7.2 图的存储结构 7.3 图的遍历
7.4 图的应用
算法与数据结构 第一章
7.1 图的定义与基本术语
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结点的前趋后继关系有限定
线性表 树
结 点 间 关 系 扩 展
图
结点的前趋后继关系无限定 多对多的非线性结构
算法与数据结构 第七章
（2） 连通分量
无向图的极大连通子图称为连通分量。
极大：对子图再增加其他顶点，子图就不连通了。 连通图的分量只有一个，就是其本身。 非连通图的连通分量有多个。
连通图的连通分量
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算法与数据结构 第七章
非连通图的多个连通分量
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算法与数据结构 第七章
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算法与数据结构 第七章
11. 顶点的度
（1）在无向图中 顶点v的度 = 与v相关联的边的数目 记为TD(v)。 （2）在有向图中
顶点v的出度=以v为起点有向边数，记为OT(v)。
顶点v的入度=以v为终点有向边数,记为IT(v)。 顶点v的度= v的出度+v的入度
TD(v) = OT(v)+ IT(v)