由三波耦合方程推导二次谐波
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由三波耦合方程推导二次谐波
光学二次谐波是三波混频的特例，是最早发现的非线性光学现象。以下分两种情况研究光学倍频效应：一种是不消耗基频光的小信号近似情况；另一种是消耗基频光的高转换效率情况 已知三波混频方程为
kz
i e
E E x
cn D i
z z E ∆*-=∂∂32321)
2(111),;(2)(ωωωω （3.1.28）
kz
i e
E E x
cn D i z
z E ∆*-=∂∂13132)
2(2
22),;(2)(ωωωω （3.1.29）
kz
i e
E E x
cn D i
z
z E ∆-=∂∂12213)
2(3
33),;(2)(ωωωω (3.1.30)
式中的相位失配因子为
321k k k k -+=∆
（3.1.31）
一、小信号近似情况
在小信号近似情况下，设基波频率ωωω==21，二次谐波频率ωω23=，倍频情况下简并因子D=1.
由于在小信号近似情况下，)()(21z E z E 和随z 的变化可以忽略，得到
0)(1=dz
z dE （3.2.1）
0)(2=dz
z dE
（3.2.2）
kz
i e
E x
cn i dz
z dE ∆-=
2
1)
2(3
3)z (),;2()(ωωωω （3.2.3）
式中 312k k k -=∆ （3.2.4） 假设晶体长度为L ，基波场和二次谐波场的边界条件分别为：)0()z (1E E =
0)0(3=E ,对方程式（3.2.3）积分得输出晶体的二次谐波振幅，即
)
1)(0()0(),;2(dz
)0(),;2(dz
)z (),;2()z ()(2
13)
2(0
2
1)
2(3
2
1)
2(0
32
1)
2(0
3
033-∆-
=∆-=
=
==
∆-∆-∆-∆-⎰
⎰
⎰k
i L kz
i kE
i L
kE
i L
L
e
E k
cn x
k
i e
E x cn i e
E x
cn i e
E x
cn i dE L E ωωωωωωωωωωωωω （3.3.5）
引进倍频系数d 代替极化率 2
)
2(x
d =
（3.2.6）
令ωω231,n n n n ==，则式（3.2.5）变成
)1)(0(2)(2
123-∆-
=∆-kL
i e
E k
cn d L E ωω (3.2.7)
由式（3.2.7）得
2
2
4
12
2
222
2
2
4
12
222
2
2
4
12
222
2
2
4
12
222
222
3
)
2/()2/(sin )
0(4)2/(sin 22)0(4)
cos 22()0(4)sin 1)(cos sin 1(cos )0(4)(kL kL E k
n c d
kL E k
n
c d kL E k n c d
kL i kL kL i kL E k n c d
L E ∆∆∆=
∆⨯⨯∆=
∆-∆=
∆+-∆∆--∆∆=
ωωωωωωωω(3.2.8)
又由光强与振幅的关系
2
101)0(2
1)0(E cn I ωε=
(3.2.9)
和 2
3203)(2
1)(L E cn L I ωε= (3.2.10)
代入式（3.2.8），得到出射倍频率波光强和入射基频波光强的关系：
)
2
(
sin )0(8)(2
212
23022
2
3kL c I n n c L
d L I ∆=
ω
ωεω (3.2.11)
二、基波光高消耗情况
在高转换效率下基波会被消耗，因此不能看做常量，此时的
0)(1≠dz
z dE
设
在相位匹配情况下，0=∆k ，n n n n ===321，对基频光有2121,E E ===ωωω以
及简并因子D=2;对信频光有ωω23=，以及简并因子D=1;以信频系数d 代替极化率，d 2)2(=χ。
由方程（3.2.8）和（3.1.30）得
3112)
(E E cn d
i z z E *
=∂∂ω
(3.2.15) 2
1
32)(E cn
d i z z E ω=∂∂ (3.2.16)
对方程（3.2.15）两边取复数共轭在乘以1E 得
*
*
-
=∂∂3
2111
2)(E E cn
d i z
z E E ω (3.2.15.1)
对方程（3.2.16）两边乘以*3E ,得
*
*
=
∂∂3
2133
2)(E E cn
d i z
z E E ω (3.2.16.1)
将方程（3.2.15.1）和（3.2.16.1）左右相加得
0)()(33
11
=∂∂+∂∂*
*
z
z E E z
z E E （3.2.16.2）
将方程（3.2.16.2）两边取复共轭，得
0)()(33
11
=∂∂+∂∂*
*
z
z E E z
z E E （3.2.16.3）
将方程（3.2.16.2）与方程（3.2.16.3）左右相加得
0))()(())()
()((33
33
11
11
=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂*
*
**
z
z E E z
z E E z
z E z E z
z E E
推出
[]0)
()(2
32
1
=+z E z E dz
d
（3.2.17）
也就是=+2
32
1)()(z E z E 常数。由z=0边界条件：0)0(,0)0(13≠=E E 得到
2
12
32
1)
0()()(E z E z E =+ (3.2.18)
对式（3.2.15）两边取模得
2
3212
2
2
211)()(4)()(z E z E n
c d z
z E z
z E ω=
∂∂⨯∂∂*
（3.2.18.1）
由方程（3.2.18.2）和方程（3.2.16.3）得
z
z E z z E E z
z E z z E E ∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂*
*
)
()()
()(332
3
112
1
（3.2.18.2）