八年级数学上册第十三章轴对称课题学习 最短路径问题

课堂小结
原理
线段公理和垂线段最短
最短路 牧马人饮 径问题 马 问 题
解题方 法
造桥 选址 问题
解题方法
轴对称知识+线段公理
关键是将固定线段 “桥”平移
课后作业
1.学练考 课时作业（二十五） 2.课堂反馈（二十五）
二 造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥 造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
A
A
M
N
B
B
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径 是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
●A
M
M
N
N
?
折
B
M Q
l
P
M
l
C
M
l
Dபைடு நூலகம்
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、
AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的
最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解方法析总：结△：AB此C类为求等线边段三和角的形最，小点值D是问B题C，边找的准中对点称，点即是点关B与键点，C而关后于将直求 线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求 C线F段+E长F的的最和小转值化，为故求连某接一C线E段即的可长，，线而段再CE根的据长已即知为条B件F+求EF解的. 最小值.
讲授新课 一 牧人饮马问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直
线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为
最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数
学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址
问题”.
①
P
② A ③B
A BC
Dl
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后
１AM. +MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为
ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
为什么这样作 图路径最短？
方法归纳 解决最短路径问题的方 法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等 变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路 径的选择.
②
A
③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有
线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A O
l
A′
3.把桥平移到和A相连.
A Ｍ
Ｎ B
4.把桥平移到和B相连.
AM+MN+B N长度有没 有改变呢？
问题解决
如图，平移A到A1，使AA1等于河
A A1
宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，
M Ｍ１
此时路径AM+MN+BN最短.
N
Ｎ１
B
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N
B
则点C 即为所求．
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
C l
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
满足直线l 上的任意一点C，
l
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最
短？
B B
A
抽象成
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上 找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段 最短”，可知这个交点即 为所求.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
导入新课 复习引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
①
②最短，因为两点之间，线段最短
A
C C′
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
不妨在直 线上另外 任取一点C′
B
l
B′
练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某
处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，
图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q
Q
P
P
M
A
P
l Q
●B 移
小提示
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？ 什么图形变换能帮助我们呢？
各抒己见
1.把A平移到岸边. 2.把B平移到岸边. 3.把桥平移到和A相连. 4.把桥平移到和B相连.
A Ｍ
Ｎ B
1.把A平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
A
A
Ｍ
'
ＮB
'B
2.把B平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了