广西省钦州市2021届新高考三诊数学试题含解析

广西省钦州市2021届新高考三诊数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥

P ABC -的外接球的表面积为（ ）

A ．25π

B ．75π

C ．80π

D ．100π

【答案】D 【解析】 【分析】

根据底面为等边三角形，取BC 中点M ，可证明BC ⊥平面PAM ，从而BC PM ⊥，即可证明三棱锥

P ABC -为正三棱锥.取底面等边ABC ∆的重心为O '，可求得P 到平面ABC 的距离，画出几何关系，设

球心为O ，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积. 【详解】

设M 为BC 中点，ABC ∆是等边三角形， 所以AM BC ⊥，

又因为PA BC ⊥，且PA AM A =I ， 所以BC ⊥平面PAM ，则BC PM ⊥， 由三线合一性质可知,PB PA PC ==

所以三棱锥P ABC -为正三棱锥，43,AB =25,PA PB PC === 设底面等边ABC ∆的重心为O '， 可得22

6433

AO AM '=

=⨯=，2220162PO PA AO '=-'=-=， 所以三棱锥P ABC -的外接球球心在面ABC 下方，设为O ，如下图所示：

由球的性质可知，PO ⊥平面ABC ，且,,P O O '在同一直线上，设球的半径为R ， 在Rt AOO ∆'中，222AO AO OO ='+'， 即()2

2162R R =+-，

解得5R =，

所以三棱锥P ABC -的外接球表面积为24425100S R πππ==⨯=， 故选：D. 【点睛】

本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.

2．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i - B ．i

C ．1-

D ．1

【答案】D 【解析】 【分析】

由已知等式求出z ，再由共轭复数的概念求得z ，即可得z 的虚部. 【详解】 由zi ＝1﹣i ，∴z ＝()()

111·i i i i i i i ---==--- ，所以共轭复数z =-1+i ，虚部为1

故选D ． 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．

3．在ABC V 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若

AM AB λ=u u u u r u u u r ，(0,0)AN AC μλμ=>>u u u

r u u u r ，则λμ+的最小值为（ ）

A ．

54

B ．2

C ．3

D ．

72

【答案】B 【解析】 【分析】

由M ，P ，N 三点共线，可得11122λμ+=，转化11()22λμλμλμ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭

，利用均值不等式，即得解. 【详解】

因为点P 为BC 中点，所以1122

AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r

，

又因为AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u u

r u u u r ，

所以1122AP AM AN λμ

=+u u u r u u u u

r u u u r ． 因为M ，P ，N 三点共线，

所以

11122λμ

+=，

所以111111()1222222

2λμλμλμλμμλ⎛⎫⎛⎫+=++=++++⨯=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当,11122λμ

μλλμ

⎧=⎪⎪

⎨⎪+=⎪⎩即1λμ==时等号成立，

所以λμ+的最小值为1． 故选：B 【点睛】

本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

4．已知等式2324214

012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 成立，则2414a a a +++=L （ ）

A ．0

B ．5

C ．7

D ．13

【答案】D 【解析】 【分析】

根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可. 【详解】

由23

24

2

14

012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 可知： 令0x =，得0011a a ⇒==；

令1x =，得012140121411(1)a a a a a a a a =++++++++⇒=L L ；

令1x =-，得0123140123142727(2)()()a a a a a a a a a a =-++-++-++⇒=+-+L L ，

(2)(1)+得，024********(28)14a a a a a a a a ++++=⇒++++=L L ，而01a =，所以 241413a a a +++=L .

故选：D 【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力.

5．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A ．84 B ．54 C ．42

D ．18

【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案． 【详解】

根据题意，分两种情况进行讨论：

①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为

123323

2

2

18C A A A =种； ②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.

语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节

英语课也不加以区分，此时，排法种数为1424

2

2

24C A A =种. 综上所述，共有182442+=种不同的排法. 故选：C ． 【点睛】

本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．

6．已知函数e 1()e 1

x x f x -=+，()

0.32a f =，()

0.3

0.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为

（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．c a b <<

【答案】B 【解析】 【分析】

可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.3

0.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.

【详解】