离散单元法计算过程的实现

离散单元法计算过程的实现

1 离散单元的划分

在物体的离散化方面，离散元法的离散思想同有限元法有着相似之处：将所研究的区域划分成各种单元，并通过节点建立单元间的联系。离散元方法的单元，从性质上分，可以是刚性的，也可以是非刚性的；从几何形状上分，可以是任意多边形（块体元），也可以是圆形（颗粒元）。从某种意义上讲，颗粒元离散元法是块体元离散元的一种力学简化方法。

图1 离散元的单元分类

而块体离散法采用连接型连接方式，考虑单元间没有间隙且符合变形协调条件，主要是用来处理连续介质力学问题，可以如同有限单元法对试件进行单元划分，不存在上述空隙受力问题。但是，连续型连接方式只能对应于连续介质(未破坏前)的计算，且其连接形式的研究尚不充分，与有限元等方法相比也无算法优势

2 基本求解过程

离散元算法的一般求解过程为：将求解空间离散为离散元单元阵，并根据实际问题用合理的连接元件将相邻两单元连接起来；单元间相对位移是基本变量，由力与相对位移的关系可得到两单元间法向方向和切向方向的作用力；对单元在各个方向上与其它单元间的作用力以及其它物理场对单元作用所引起的外力求合力和合力矩，根据牛顿运动第二定律可以求得单元的加速度；对其进行时间积分，进而得到单元的速度、位移。从而得到所有单元在任意时刻的速度、加速度、角速度、角加速度、线位移和转角等物理量。

3 求解方法

离散元法具体的求解过程分为显式解法和隐式解法，显示解法用于动力问题的求解或动态松弛法静力求解，而隐式解法用于求解静力问题的静态松弛法，动态松弛法是把非线性静力学问题化为动力学问题求解的一种数值方法，其实质是在上述的逐步积分过程中加入了临界阻尼。通过质量阻尼和刚度阻尼来吸收系统

的动能，收敛于静态值。

显式算法无需建立像有限元法那样的大型刚度矩阵，只需单元的运动分别求出，计算比较简单，数据量较少，并且允许单元发生很大的平移和转动，可以用来求解一些含有复杂物理力学模型的非线性问题。时间积分一般采用中心差分法。由于条件收敛的限制，使得计算步长不能太大，因而增加了计算时间。对于使用动态松弛法解决静力或准静力问题时，阻尼难以确定且对计算数值有所影响。

隐式解法的静态松弛法是直接寻找块体失去平衡后达到再平衡时的力一位移关系，建立隐式方法解联立方程组，并通过迭代求解以完全消除块体的残余力和力矩。静态松弛离散单元法不考虑黏性阻尼，因而避免了在动态松弛法中确定这些计算参数时所遇到的困难。但是，该方法在求解联立平衡方程组时，有时会出现数值奇异或病态问题，这是该方法需要进一步改进的地方。

显式算法只有在单元数量比较少时才能发挥速度优势，一个动力过程的计算往往需要相当长的时间，而且其稳定性也需要一定的条件，并存在累积误差。

无论是采用何种解法或是解决何种问题，离散元的计算过程中主要包括以下几个方面的计算：

1）接触判断，相互作用关系、作用物理量计算（以相互关系数据为操作对象）。

2）运动方程判断，单元物理量的更新(以单元数据为操作对象)。

3）计算其它等效物理场的计算(如应力、应变等)。

4）计算时间增量，进入下一个时间步。

4 边界条件

离散单元法中存在以下几种常用的边界条件：

1）刚性壁边界

当用刚性壁作为边界时，边界条件可以用刚性壁坐标原点C的两个平移速度和一个转动速度来定义，也可以采用伺服控制机理保证刚性壁所受的法向力不变。

2）颗粒边界

当边界是由颗粒自身组成时，边界是一个凸多边形，并且可以想象为由位于边界颗粒形心处的桩钉所拉紧的弹性皮筋。内部颗粒向外运动，当其形心接触到边界上任意两个相邻的颗粒形心的连线时，将变为边界颗粒。边界颗粒条件有4种控制方式：应力控制边界、应力控制边界、伺服控制边界、边界平均应力的控制。

5 待解决问题

综上所述，离散元法的理论和算法尚不成熟。理论基础的欠缺在块体元模型中尤为明显，离散元方法人为假定太多，法向、切向刚度都是人为假设的，节理的确定也是经过统计分析处理的，这也是不真实的，在这些假定前提下，模拟的结果有可能偏离实际很大。

显示算法的稳定性存在一定条件，即时间步长受到数值积分稳定性的限制，不能超过系统的临界时间步长。因此，其计算过程受颗粒数目的影响较大，在接触判断环节往往需要大量的时间，对计算机性能的依赖性很大，而且其固有的传

递误差问题也难以解决。对离散元基础算法的研究，特别是隐式算法的静态松弛法需要进一步研究和发展，以提高离散元法的计算精度和可靠性。

在建立离散元模型的过程中，参数的确定仍然需要进行大量实验，通过确定相应的宏观参数，用经验公式及理论计算得到微观参数，其转换过程尚缺乏充分的理论支撑。各个接触模型过于简单，很难模拟真实的离散模型，特别是对块体连结型连接模型的研究很不充分，其研究成果也很少，对复杂几何状态下的力学行为的模拟有待解决。