第1讲-绝对值和绝对值不等式的解法

第1讲 绝对值和绝对值不等式的解法

5.1 绝对值的概念

定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．

例如，2-到原点的距离等于2，所以22-=．这一定义说明了绝对值的几何定义，从这一定义中很容易得到绝对值的求法：,00,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

．

5.1.1 绝对值的性质

【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）

A ．±2

B ．2

C ．-2

D ．4

解：A

【例2】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）

A ．7或-7

B ．7或3

C ．3或-3

D ．-7或-3

解：C

当a 、b 、c 都是正数时，M = ______；

当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________；

当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；

当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．

解：3；1，1-，3-．

练习1：已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc a b c abc

+++的值 解：由于0a b c ++=，且a b c ，，是非零整数，则a b c ，，一正二负或一负二正，

（1）当a b c ，，一正二负时，不妨设000a b c ><<，，，原式11110=--+=；

（2）当a b c ，，一负二正时，不妨设000a b c <>>，，，原式11110=-++-=．

原式0=．

【例4】若42a b -=-+，则_______a b +=．

解：424204,2a b a b a b -=-+⇒-++=⇒==-，所以2a b +=．

结论：绝对值具有非负性，即若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =．

练习1：()2120a b ++-=， a =________；b =__________

解：1,2a b =-=．

练习2：若7322102

m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋． 解：由题意，713,,22m n p =-==，所以13237922

p n m m +==+-=-＋． 5.1.2 零点分段法去绝对值

对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．

【例5】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()

0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12

x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值）

，在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3种情况：

⑴当1x ≤-时，原式()()1221x x x =-+--=-+

⑵当12x -<<时，原式()123x x =+--=

⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-

综上讨论，原式()()()

211312212x x x x x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩

通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：

（1）别求出2x +和4x -的零点值

解：令20x +=，解得2x =-，所以2x =-是2x +的零点；令40x -=，解得4x =，所以4x =是4x -的零点．

（2）化简代数式24x x ++-

解：⑴当2x ≤-时，原式()()2422x x x =-+--=-+；

⑵当24x -<<时，原式()()246x x =+--=；

⑶当x ≥4时，原式2422x x x =++-=-．

综上讨论，原式()()()

222624224x x x x x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩．

（3）化简代数式122y x x =-+-

解：当1x ≤时，53y x =-；

当12x <<时，3y x =-；

当2x ≥时，35y x =-．

综上讨论，原式

()

()

()

531

312

352

x x

x x

x x

-≤

⎧

⎪

=-<<

⎨

⎪

-≥

⎩

．

5.1.3 绝对值函数

常见的绝对值函数是：

,0

,0

x x

y

x

x x

≥

⎧

==⎨

-<

⎩

，其图象是

绝对值函数学习时，要抓关键点，这里的关键点是0

x=．思考如何画y x a

=-的图象？

我们知道，x表示x轴上的点x到原点的距离；x a

-的几何意义是表示x轴上的点x到点a的距离．【例6】画出1

y x

=-的图像

解：（1）关键点是1

x=，此点又称为界点；

（2）接着是要去绝对值

当1

x≤时，1

y x

=-；当1

x>时，1

y x

=-．

（3）图像如右图

说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到

练习1.（1）画出2

y x

=-的图像；（2）画出2

y x

=的图像

【例7】画出122

y x x

=-+-的图象

解：（1）关键点是1

x=和2

x=

（2）去绝对值

当1

x≤时，53

y x

=-；

当12

x

<<时，3

y x

=-；

当2

x≥时，35

y x

=-．

（3）图象如右图所示．