2019版高三数学一轮复习 8.7双曲线课件

y=±x,显然两直线互相垂直,其实轴、虚轴长均为2a,所以
c 2所a，以
e c 2a 2. aa
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9
2.已知双曲线方程为 x 2 y 2 ＝1， 则此双曲线的右焦点坐标为
43
()
A.(1,0)
B.(5,0)
C.(7,0)
D.( 7 ,0)
【解析】选D.双曲线方程为
x2
y
2
其＝中1，a2=4,b2=3,焦点在
.
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(3)(2013·辽宁高考)已知F为双曲线C: x 2 － y 2 1 的左焦点,
9 16
P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ
上,则△PQF的周长为
.
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【解题视点】(1)由双曲线的定义及|PF1|=2|PF2|可求出|PF1|, |PF2|的长,在△F1PF2中利用余弦定理即可求出cos∠F1PF2的 值.(2)因为∠F1PF2=60°,只要想法求出|PF1|与|PF2|的乘积即 可.(3)可想法求出|FP|+|FQ|,再求周长.
第七节 双曲线
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1
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2
【知识梳理】 1.双曲线的定义
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面 内的两个定点F1,F2
||MF1|-|MF2||=2a _2_a_<_|_F_1F_2_|_
M点的轨迹 为双曲线
F1,F2为双曲线的焦点 |F1F2|为双曲线的焦距
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3
2.双曲线的标准方程和几何性质
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.④⑤
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【解析】选D.①错误.由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而 非双曲线的全部. ②错误.因为||MF1|-|MF2||=8=|F1F2|,表示的轨迹为两条射线. ③错误.当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线,而 m<0,n<0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
【典例1】(1)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P
在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( )
1
3
3
4
A . B . C . D .
4
5
4
5
(2)已知双曲线
x 2 － y 2＝1 4
的左、右焦点为F1,F2,点P为左支上一
点,且满足∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为
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x轴上,此双曲线的右焦点坐标为 ( 7，0 )．
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3.设F1,F2分别是双曲线 x 2－ y 2 ＝1 的左、右焦点.若点P在双曲
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线上,且|PF1|=5,则|PF2|=( )
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A.5
B.3
C.7
D.3或7
【解析】选D.因为||PF1|-|PF2||=2,所以|PF2|=7或3.
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4.若F(5,0)是双曲线 x 2 － y 2 ＝1 (m是常数)的一个焦点,则m的值
②平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的 轨迹是双曲线; ③方程 x2 y2 1(mn0) 表示焦点在x轴上的双曲线;
mn
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④双曲线方程 m x2 2n y2 2(m 0,n0,0)的渐近线方程是
x2 m2
y2 n2
0，即
x m
y n
0.
⑤等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2 .
实虚轴 线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=_2_b_;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c间 的关系
c2=_a_2_+_b_2 (c>a>0,c>b>0)
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【考点自测】
1.(思考)给出下列命题:
①平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双 曲线;
22 24 2 4
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(2)设|PF1|=m,|PF2|=n,
m2n2－ 2mncos60(2c)2, n－ m2a,
所以 m2 n2－mn 20,
m2 n2－2mn 16,
所以mn=4,所以S△ F1PF2＝ 1 2mnsin60＝3.
答案: 3
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(3)显然,点A为双曲线的右焦点,P,Q都在双曲线的右支 上,|PQ|=16,由双曲线的定义得:|FP|-|PA|=6,|FQ|-|QA|=6, 两式相加, |FP|+|FQ|-|PA|-|QA|=12, 即|FP|+|FQ|-|PQ|=12,所以|FP|+|FQ|=28, 所以△PQF的周长为|FP|+|FQ|+|PQ|=44. 答案:44
图形
标准方程 范围
x2 a2
y2 b2
1(a>0,b>0)
_x_≥__a_或__x_≤__-_a_
性 对称性 质
对称轴:_坐__标__轴__ 对称中心:_原__点__
顶点
顶点坐标: A1_(_-_a_,_0_)_,A2精_(品_a_,_0_)_
y2 a2
x2 b2
1
(a>0,b>0)
_y_≤__-_a_或__y_≥__a_
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④即正xa 22确 .by因22 所为0以，xa当22λ>by220时1(,a的0渐,b近 线0xm )2方2程yn 为的22 渐1(近m0,ny0) ba x ，
线方程为
x2 m2
yn即22 0.
x即2
m2
y2 n2
同0，理当x λ<y0
mn
0.
时,仍成立,故结论正确.
⑤正确.等轴双曲线:x2-y2=a2(a>0)的渐近线方程为x2-y2=0,即
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【规范解答】(1)选C.双曲线的方程为
x
2
－
y
2
所＝以1，a=b
22
＝ 2c，=2,
因为|PF1|=2|PF2|,所以点P在双曲线的右支上,
则有|PF1|-|PF2|=2a=2 2 ，所以|PF2|= 2 |2P，F1|= 4 2 ，
所以cos∠F1PF2=(2 2)2(4 2)2选1C6＝ . 3，
对称轴:_坐__标__轴__ 对称中心:_原__点__
顶点坐标: A1_(_0_,_-_a_)_,A2_(_0_,_a_)_ 4
渐近线
_y___ _ba_x_
y___ _ab_x___
离心率 性
c
e=__a _,e∈_(_1_,_+_∞__)_
质
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=_2_a_;
16 m
为( )
A.3
B.5
C.7
D.9
【解析】选D.由题意16+m=25,所以m=9.
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5.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=±4x,则该双曲
线的离心率为
.
【解析】因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=±4x,所
以b=4a,c2=17a2e,＝ 17. 答案: 1 7
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考点1 双曲线的定义及其应用