先验误差估计和数值稳定

先验误差估计和数值稳定

1.1先验误差估计证明

在这节，本文将研究对流扩散方程差分格式（7）-（9）和连续问题之间解的先验误差估计。假设问题的解(),u x t 在[]()30,u C T ∈⨯Ω是充分光滑的，从Taylor 展开式中得，差分格式（7）是Burgers 方程()2k h ο+阶逼近，边界条件采用()2h ο阶的单边差分逼近。

注意到误差n n n ij ij ij e U u =- ，这里n ij u 代表了解析解(),,i j n u x y t 1而n ij U 是数值

结果（7）-（9）。在离散的()()()22211,,L L L L L H ∞空间范数,有以下的收敛定理。

定理2，在定理1的假设下[]()30,u C T ∈⨯Ω,这里存在一个连续的C 独立于h 和k ，定义如下：

()

()

()2

2

1

22

12L

L L H

e

e

C h h k ∞

+≤++ （21）

证明，本文先通过Taylor 展开公式导出解析解的截断误差，在全离散隐格式

中对于内节点有

()112111

11/2,3/2,1111

11/2,3/2,2,1/2,3/21112,1/2

,3/231:22313122223122n n n n n ij ij ij x i j x i j n n n n x i j x i j y i j y i j n n n y i j y i j ij R dtU v U a U U a U U a U U a U U W U f δδδδδδδδδ++++++---+++++++---+++++⎛⎫=-+- ⎪

⎝⎭

⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭

()122

12n ij O h h k +=++（22）

1

0n ij U +=，对于边界点 （23）

()00,ij i j U u x y = 对于内部和边界点 （24）

从（7）-（9）减去（22）与（24）乘以以下误差方程

()()121111111/2,3/2,11/2,3/2,1111

2,1/2

,3/22,1/2,3/21

13131222231312222n n ij ij

n n n n x i j x i j x i j

x i j n n n n y i j y i j y i j y i j n n ij ij dte v e a e e a e e a e e a e e W u W U δδδδδδδδδ+++++-++--+++++-++--++++-⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

+--1

n ij R + （25）

这里在边界上10n ij

e +=且对于所有点0

0ij e = 对于所有正整数M 满足0M N ≤≤,可以得到n M =

满足()

2

M n

L L e e ∞=关系，

在时间层0,1,

n M =多项乘积1

12n ij e h h k +对所有内部节点求和结果为以下方程：

()()1

1

1

121

112

12001234

M M n n n n t ij

ij ij ij n ij

n ij d e e

h h k v e e h h k

T T T T δ--++++==-=+++∑∑∑∑ （26）

1

1

1111111/2,3/2,11/2,3/2,1203131:2222M n n n n n x i j x i j x i j

x i j ij n ij T a e e a e e e h h k δδδδ-+++-+++--++=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 1

1111

122,1/2

,3/22,1/2,3/21203131:2222M n n n n n y i j y i j y i j y i j ij n ij T a e U a e e e h h k δδδδ-+++-+++--++=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭∑∑ ()()()

1

1

113120

:M n n n ij ij ij n ij T W U W U e h h k -+++==-∑∑

1

11

1120

:M n n ij ij n ij

T R e h h k -++==∑∑

约束（26）项如以下方程所示，（26）的最左边的项导出为：

()()()()()

1

1

112

01222

111201

2

2

2

2

22

02

200

1212M n n t ij

ij n ij

M n n n n ij ij ij ij n ij M M n M

t t t n d e e

h h k

e e e e h h d e k d e

k d e k e e -++=-++=-==--+⎛

⎫=-++- ⎪

⎝

⎭

∑∑∑∑∑ （27）

注意到调和边界条件1

n ij e +，对左式的第二项可以得到

()()1

1

21

11112

00

1

2

10

,M M n n n n ij

ij n ij

n M n n v e

e

h h k v e e k

vk e

δδδδ--++++==-+=-==∑∑∑∑ （28）

由于Young 不等式得22/4ab a b εε<+ 和()12,a a L ∞∈Ω，1T 的和可以被估计

(

)1

22

11

10M n n x n T C e e k ωδ-++=≤+∑ （29）

这里w 将在以后定义，同样的，可以得到T2的相同约束