二维随机变量及独立性--教学设计

概率论与数理统计教学设计

不大于实数的概率，并把联合分布函数记为，即

．

3．联合分布函数的性质 (1) ； (2 ) 是变量(固定)或(固定)的非减函数； (3) ， ； (4) 是变量(固定)或(固定)的右连续函数；

(5) ． 例题：设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为 (,)(arctan )(arctan )F x y A B x C y =++ 求：常数,,(,)A B C x y -∞<<+∞-∞<<+∞ 解：由分布函数(,)F x y 的性质得： lim (arctan )(arctan )()()1

22lim (arctan )(arctan )()(arctan )0

2lim (arctan )(arctan )(arctan )()0

2x y x y A B x C y A B C A B x C y A B C y A B x C y A B x C ππ

π

π

→+∞→+∞→-∞→-∞++=++=++=-+=++=+-=

由以上三式可解得：21,,22A B C π

π

π===

y (,)F x y (,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞0(,)1F x y ≤≤(,)F x y x y y x (,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞

→+∞→-∞→+∞==(,)F x y x y y x 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)

P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+

二维离散型随机变量及联合概率函数（10分）4.二维离散型随机变量及联合概率函数

如果二维随机变量仅可能取有限个或可列

无限个值，那么，称为二维离散型随机变量．

二维离散型随机变量的分布可用下列联合

分布率来表示：

其中，．

也可用下边的概率分布表表示：

X Y1y j y

()

i

P X x

=

1

x

11

p

1j

p1j

j

p

∑

i

x

1i

p

ij

p ij

j

p

∑

()

j

P Y y

=1i

i

p

∑ij

i

p

∑

1

通过引导及

具体的例题

展现二维离

散型随机变

量。

(,)

X Y

(,)

X Y

(,)

X Y

(,),,1,2,,

i j ij

P X a Y b p i j

====

0,,1,2,,1

ij ij

i j

p i j p

≥==

∑∑

5.二维连续型随机变量及联合概率密度 （1）对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数，如果存在一个二元非负函数，使得对于任意一对实数有 成立，则为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量的联合概率密度． （2）二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 ① ；

② ； ③设为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线，有； ’ ④ 在的连续点处有 ; ⑤ 设为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域有 例.求在D 上服从均匀分布的随机变量（X,Y ）的密度函数和分布函数，其中D 为x 轴、y 轴及直线y =2x +1围城的三角形区域。

解：如图，区域D 为直角三角形RT △OAB ，其面积为： 1111224OAB S =

⨯⨯= 所以由均匀分布的定义可得，（X,Y ）的联合密度函数为： 4,(,)(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他 下面来求（X,Y ）的分布函数， (,)

F x y (,)f x y (,)x y (,)(,)x y

F x y f s t dtds -∞-∞=⎰⎰(,)X Y (,)f x y (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰(,)X Y L ((,))0P X Y L ∈=(,)f x y 2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂(,)X Y D ((,))(,)D P X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰

(,)(,),()x y F x y f s t dtds -∞-∞

=-∞<⎰⎰ （1）当1

02x y <-<或时，(,)=0F x y （2）当10,0212x y x -≤<≤<+时

2102(,)=442y x y F x y dt ds xy y y -=+-⎰⎰

（3）当1

0,212x y x -≤<≥+时 212102(,)4441x

x F x y ds dy x x +-==++⎰⎰

（4）当0,01x y ≥≤<时 0

2102(,)=42y y F x y dt ds y y -=-⎰⎰

（5）当0,1x y ≥≥时 021

102(,)=41x F x y ds dt +

-=⎰⎰ 综上所述，