二维随机变量及独立性--教学设计
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概率论与数理统计教学设计
不大于实数的概率,并把联合分布函数记为,即
.
3.联合分布函数的性质 (1) ; (2 ) 是变量(固定)或(固定)的非减函数; (3) , ; (4) 是变量(固定)或(固定)的右连续函数;
(5) . 例题:设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为 (,)(arctan )(arctan )F x y A B x C y =++ 求:常数,,(,)A B C x y -∞<<+∞-∞<<+∞ 解:由分布函数(,)F x y 的性质得: lim (arctan )(arctan )()()1
22lim (arctan )(arctan )()(arctan )0
2lim (arctan )(arctan )(arctan )()0
2x y x y A B x C y A B C A B x C y A B C y A B x C y A B x C ππ
π
π
→+∞→+∞→-∞→-∞++=++=++=-+=++=+-=
由以上三式可解得:21,,22A B C π
π
π===
y (,)F x y (,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞0(,)1F x y ≤≤(,)F x y x y y x (,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞
→+∞→-∞→+∞==(,)F x y x y y x 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)
P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+
二维离散型随机变量及联合概率函数(10分)4.二维离散型随机变量及联合概率函数
如果二维随机变量仅可能取有限个或可列
无限个值,那么,称为二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量的分布可用下列联合
分布率来表示:
其中,.
也可用下边的概率分布表表示:
X Y1y j y
()
i
P X x
=
1
x
11
p
1j
p1j
j
p
∑
i
x
1i
p
ij
p ij
j
p
∑
()
j
P Y y
=1i
i
p
∑ij
i
p
∑
1
通过引导及
具体的例题
展现二维离
散型随机变
量。
(,)
X Y
(,)
X Y
(,)
X Y
(,),,1,2,,
i j ij
P X a Y b p i j
====
0,,1,2,,1
ij ij
i j
p i j p
≥==
∑∑
5.二维连续型随机变量及联合概率密度 (1)对于二维随机变量(X ,Y)的分布函数,如果存在一个二元非负函数,使得对于任意一对实数有 成立,则为二维连续型随机变量,为二维连续型随机变量的联合概率密度. (2)二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 ① ;
② ; ③设为二维连续型随机变量,则对任意一条平面曲线,有; ’ ④ 在的连续点处有 ; ⑤ 设为二维连续型随机变量,则对平面上任一区域有 例.求在D 上服从均匀分布的随机变量(X,Y )的密度函数和分布函数,其中D 为x 轴、y 轴及直线y =2x +1围城的三角形区域。
解:如图,区域D 为直角三角形RT △OAB ,其面积为: 1111224OAB S =
⨯⨯= 所以由均匀分布的定义可得,(X,Y )的联合密度函数为: 4,(,)(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他 下面来求(X,Y )的分布函数, (,)
F x y (,)f x y (,)x y (,)(,)x y
F x y f s t dtds -∞-∞=⎰⎰(,)X Y (,)f x y (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰(,)X Y L ((,))0P X Y L ∈=(,)f x y 2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂(,)X Y D ((,))(,)D P X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰
(,)(,),()x y F x y f s t dtds -∞-∞
=-∞<⎰⎰ (1)当1
02x y <-<或时,(,)=0F x y (2)当10,0212x y x -≤<≤<+时
2102(,)=442y x y F x y dt ds xy y y -=+-⎰⎰
(3)当1
0,212x y x -≤<≥+时 212102(,)4441x
x F x y ds dy x x +-==++⎰⎰
(4)当0,01x y ≥≤<时 0
2102(,)=42y y F x y dt ds y y -=-⎰⎰
(5)当0,1x y ≥≥时 021
102(,)=41x F x y ds dt +
-=⎰⎰ 综上所述,