数学归纳法

数学归纳法

（一）设计思路：创设情景、导入新课→自主探究、合作学习→典例探究、成果展示→自我总结、课堂反馈→分层作业，课外拓展。

（二）教学过程

1、创设情景、导入新课

学案设计三个问题：

问题1：对于数列}{n a ，22)55(+-=n n a n ，计算4321,,,a a a a 的值并猜想n a 的值。

问题2：对于数列}{n a ，*)(1,111N n a a a a n

n n ∈+==+，计算4321,,,a a a a 的值并猜想n a 的值。 问题3：上面两个问题猜想的结论正确吗？你能证明吗？

师生活动：学生A 、B 分别回答问题1、2，学生小组讨论问题3后，学生C 回答。

【设计意图】进一步使学生体会到虽然通过归纳推理可以帮助人们发现问题和提出问题，但利用归纳推理得到的结论是不可靠的，其正确与否还必须经过严格的证明。它们都是与自然数有关的数学命题，而自然数有无限多个，我们又无法对所有的自然数逐一验证，那么如何判断命题的正确性呢？旧知识产生了新问题，以此激起学生强烈的求知欲，要证明这个问题，必须寻找一种用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法，从而水到渠成地引入新课——数学归纳法。

2、自主探究、合作学习

（1）类比游戏，寻求思路

师生活动：什么是数学归纳法呢？带着这一问题观看多米诺骨牌游戏的动画。看完后，学生思考学案上的问题4“使所有骨牌都能倒下的条件是什么？”，学生小组讨论后，学生D 回答，其他学生可以补充。最后在学案上写出使所有骨牌都能倒下的两个条件。

(1)第一块骨牌倒下；

(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块也倒下。

【设计意图】利用多米诺骨牌游戏激发学生的学习兴趣，为学生对数学归纳法的理解从感性认识上升到理性认识、为突破和分解教学难点提供生动有趣的参照物。

师生活动：老师提出学案问题5“你认为条件（2）的作用是什么？”，学生小组讨论后，学生E 回答，其他学生可以补充。最后在学案上写出你认为条件（2）的作用

条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k 块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证（1）（2）成立。

师生活动：老师提出学案问题6“你认为证明问题2中数列通过公式的猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？” 学生结合学案设计的比较表，小组讨论教师巡视，适时点拨，学生F 回答。

明的两个步骤、一个结论。

师生活动：老师在黑板上写出问题2猜想的证明过程，引导学生规范化步骤，提问学生回答每一步要干什么？怎么干？起什么作用？尤其是证明第二步的时候，教师提醒学生要注意使用归纳假设，并且把证明的目标牢记在心，提问学生G 目标是什么。教师引导学生等式证完后，回过头来看一下每一步的作用：第一步是奠基、起步，第二步是假设与递推，是证明的关键。

【设计意图】培养学生规范化步骤，以及自我思考、自我组织语言的能力；培养学生做事情要有方向和目标，养成积极的做事态度；培养学生做事情有始有终的好习惯；从每步的作用上理解数学归纳法的思想。

（2）总结归纳，形成方法

师生活动：学生在学案上写出数学归纳法的定义，及框图表示，教师巡视个别点拨。

学案设计问题7：数学归纳法的使用范围是什么？为什么证明时这两个步骤缺一不可？你能举例说明吗？

师生活动：学生小组讨论，教师巡视，找出例子。然后老师和学生一起小结：（1）数学归纳法主要用来证明与自然数有关的数学命题，其核心是递推思想，就是用有限的步骤替代无限的递推过程；（2）第一步是递推的基础，第二步是命题的正确性能否递推下去的保证，两个步骤缺一不可。

【设计意图】明确数学归纳法的思想和步骤，为下一步应用做好准备；同时也可以让学生体会到从探索到成功得出方法的喜悦。

3、典例究探，展示成果

学案设计例1：用数学归纳法证明*)(6

)12)(1(21222N n n n n n ∈++=+++ 师生活动：学生H ，I 在黑板上做，其余同学在学案上完成，教师巡视，适时点拨步骤，完成后结合教师点评H 、I 同学的证明过程，小组内交流证明过程， 并提出修改建议。最后学生J 总结使用数学归纳法的注意事项。接着做巩固训练。

【设计意图】让学生体验数学归纳法的应用，同时暴露证明过程存在的问题，通过小组合作、交流

及教师点拨，牢固掌握数学归纳法的基本步骤（两步一结论）和第二步证明的技巧（必须用到归纳假设，要有目标）。

学案设计例2：已知数列 ,)

13)(23(1,,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n ，计算4321,,,S S S S ，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明。

处理方式同例1

【设计意图】使学生经历一次数学研究与发现的完整过程，进一步熟悉数学归纳法，并落实教学目标中使学生初步掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。

4、自我总结，课堂反馈

（1）师生活动：学生M 、N 回答这一节课学习了什么内容，有什么注意事项，教师作思路理顺和补充。

【设计意图】回顾总结这一节课的主要内容，使学生在整体上把握这一节课的知识，突出本节课的重点，并让学生反思本课所学知识，感悟一些解决问题的思想与方法，实现从学到思再到悟。

（2）课堂反馈：教师围绕数学归纳法的两个步骤精心设计问题（包含初始值的选择，正确使用归纳假设等），学生当堂完成，当堂点评。

【设计意图】检查教学目标的落实情况，为下一节数学归纳法的应用做好铺垫。

5、分层作业，课外拓展

（1）书面作业：课本P96，A 组1（3），2

（2）思考题，可以设计与不等式证明有关的思考题。

【设计意图】通过作业进一步巩固本节课所学的数学归纳法，强化基本技能训练和解题规范化的训练。课后思考题主要是为学有余力的学生设计，为不同程度的同学提供更为广阔的思考探索空间。

五、板书设计如下：

反思，在整个教学过程中，我抓住学生的“主体”作用做文章，不浪费任何一个促使学生“自省”的机会，以学定教，以积极的双边活动使学生主动自觉地发现结果、发现方法。培养了学生的观察分析能力和思维的全面性。具体教学中，教师创设问题情境，学生在这一情境中去讨论分析、探究发现，以符合学生思维的规律，发展学生的能力，实现教学目标。