解析信号与系统课程中的重要概念_能量与功率
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∞ A0 2 ∞ 1 2 ) + ∑ An = ∑ | Fn |2 （３） 2 n =1 2 n =−∞
［１］ 吴大正．信号与线性系统（第四版）［Ｍ］．北 京：高等教育出版社，２００５． ［２］ 郑君里，应启珩，杨为理．信号与系统（第二 版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００．
１６２
中国科教创新导刊 Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
信号与系统是电子电气类专业本科生的 主干专业基础课程，是其后续课程，如数字信 号处理、 数字图像处理等的先修课，也是研究 生入学考试的重要课程。 本课程理论性较强，内容包含知识点、 公 式较多、 较细。 讲授过程中发现学生对信号能量 与功率、 能量谱与功率谱、 频谱与频谱密度这些 细节问题搞不清楚，遇到信号能量与功率的求 解问题，就感到无从下手，影响了整体学习效 果。 在此就以上问题作一下讨论与总结。
R(τ ) = lim ∫
T /2
T →∞ −T / 2
f (t ) f (t − τ )dt ／ Ｔ ， 其 傅
立叶变换为Ｐ（ｗ），再根据式（４）求解 Ｐ 。 对于能量信号，其自相关函数Ｒ（τ）＝∫ｆ （ｔ）ｆ（ｔ－τ）ｄτ，其傅立叶变换为Ｅ（ｗ），再根据 式 （５）求 解 Ｅ。 由上分析可知，能量与功率是信号本身特 性，在时域中可求解。 因能量与功率守恒，也 可在变换域求解，它是能量守恒定理在信号分 析中的体现，也是信号的时域特性与频域特性 的一个重要关系。 变换域中求解可利用直接的 能量谱或是功率谱，也可用间接的自相关函 数。 另外说明一点，对于功率信号，若给出傅立 叶系数，直接利用式（３）求解功率会更简单。
中国科教创新导刊
２０１０ ＮＯ．２３ Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
电化教育研究
ห้องสมุดไป่ตู้
解析信号与系统课程中的重要概念： 能量与功率
宫娜娜 王缓缓 赵春雨 （ 黄河科技学院通信工程系 郑州 ４ ５ ０ ０ ６ ３ ） 摘 要 : 本文主要讨论信号与系统课程中的两个重要的概念——能量与功率 , 引出能量信号与功率信号的判断方法 ; 接着从傅立叶级数与 傅立叶变换关系, 引出频谱与频谱密度的概念 ; 最后总结各种求解信号能量与功率的方法。 关键词 : 能量 功率 能量谱 功率谱 中图分类号 : G 6 4 2 文献标识码: A 文章编号: 1 6 7 3 - 9 7 9 5 ( 2 0 1 0 )0 8 (b )- 0 1 6 2 -0 1
∑
以ｗ 为横坐标，Ａ ｎ、 ｜Ｆ ｎ ｜为纵坐标，即只在 ｗ＝ｎΩ处有高度为Ａ ｎ、 ｜Ｆ ｎ｜的谱线，即幅度谱。 同理也可以得到ｗ与φｎ的关系图，即相位谱。 幅度谱和相位谱反映了谐波分量的幅值和相位 随谐波频率的变化情况。 周期信号的频谱是具 有离散性、 谐波性、 收敛性［２］。 对于非周期信号而言，可看作是周期信号 当周期Ｔ趋向于无穷大，ｆ趋于无穷小。 此时，谱 线间隔Ω趋于无穷小，离散谱变成连续谱；各 频率分量幅度Ａｎ、 ｜Ｆ ｎ｜也趋向于无穷小，无法画 出频谱图。 但各个频率分量幅度依然成一定比 例关系，将各个无穷小的系数Ｆ ｎ除以无穷小的 ｆ，从频谱得到了频谱密度的概念，即单位频率 上的频谱，这样就得到了一般意义上的傅立叶 变换。 即
频谱密度。
上式中第一个等号右端的第一项为直流 功率，第二项为各次谐波功率之和。 另外，可借助功率谱Ｐ（ｗ）对频率的积分求 解功率Ｐ。 具体思路为：
lim ｜ＦＴ（ｊｗ）｜２／Ｔ，其中ｆＴ（ｔ） （１）求解 P(w) = T →∞
２ 频谱与频谱密度
傅立叶级数是针对周期信号而言的，实质 上是实现了信号的分解，把周期信号分解成三 角函数或虚指数函数的线性组合，即 ∞ ∞ A Fn e jnΩt （１） f (t ) = 0 + ∑ An cos( nΩt + ϕ n ) ＝ 2 n=1 n = −∞
能量有界（０＜Ｅ＜∞， Ｐ ＝０），称其为能量有限信 号，简称能量信号。 若信号ｆ（ｔ）的功率有界（０ ＜ Ｐ ＜∞，Ｅ＝∞），称其为功率有限信号，简称功 率 信 号 ［１］ 。 掌握概念之后，判断一个信号是否为能量 或是功率信号很重要。 用定义一般比较复杂， 要给学生作引申与总结，可用实际信号举例说 明，学 生 更 容 易 接 受 。 （１）一个信号不可能既是能量信号又是功 率信号。 因为这两个概念相互对立，即能量和 功率不可能都是有限值。 （２）一个信号可以既不是能量又不是功率信 号，如无界信号，例①为斜坡信号ｒ（ｔ）＝ｔε（ｔ），其 中ε（ｔ）为阶跃信号；例②为周期为Ｔ的冲激序列 δＴ（ｔ），其中δ（ｔ）是冲激信号。 （３）能量信号都是非周期信号，主要包括： 时限信号（在有限的时间范围内为非零值），如 矩形，三角信号等；一些有界的非周期信号如 １０ｅ－２ｔε（ｔ）。 （４）功率信号可以是周期的也可以是非周 期的，如直流信号１，有界的周期信号ｓｉｎｔ；阶跃 信号ε（ｔ），有始周期信号ｓｉｎｔε（ｔ）。 掌握以上结论，可有效判断信号的类型。 另外，还可从频域角度研究能量与功率，这不 能不提到傅里叶级数与傅里叶变换，即频谱与
１ 能量信号和功率信号
对于一个信号ｆ（ｔ），其能量定义为在区间 （－∞，∞）上ｆ（ｔ）的能量，用Ｅ表示， E = lim ∫ | f (t ) |2 dt ，功率Ｐ 定义为在（－∞，∞）
a→∞ − a a
方法３，利用自相关函数的频域方法对于功 率信号，其自相关函数
E 若信号ｆ（ｔ）的 上ｆ（ｔ）的平均功率， P = lim 2a 。 a→∞
是从ｆ（ｔ）中截取｜ｔ｜≤Ｔ／２的函数。 1 P( w)dw （４） （２）利用 P = ∫ P (w)df = 2π ∫ 对于能量信号 f (t ) ，利用Ｆ（ｊｗ）求解其能 量谱Ｅ（ｊｗ）＝｜Ｆ（ｊｗ）｜２，再用Ｅ（ｊｗ）对频率积分得 到能量。
E = ∫ E ( w)df = 1 | F ( jw) |2 dw （５） 2π ∫
lim FnT = Ｆ（ｊｗ）＝ T →∞
∫ f (t )e
− jwt
dt （２）
用有限的离散谱线高度，除以所占的无穷 窄的频率点，可解释为何周期信号的傅立叶变 换（频谱密度）包含冲激函数。 只不过为了方 便，将频谱密度简称为频谱，这点特别需要跟 学生强调。
参考文献 ３ 能量与功率的求解
总结三种方法，第一种为时域求解，后两 种为频域求解，而频域方法中又可以涉及到另 外两个重要概念，能量谱Ｅ（ｊｗ）与功率谱Ｐ（ｗ） （单位频率上的能量与功率）。 方法１， 利用时域定义式直接计算。 之前 可用前述方法，简单判断一下信号类型。 方法２，直接频域方法。 对于功率信号，又是周期信号，若已知傅 立叶系数Ａｎ或是｜Ｆ ｎ｜，则有 P = (
［１］ 吴大正．信号与线性系统（第四版）［Ｍ］．北 京：高等教育出版社，２００５． ［２］ 郑君里，应启珩，杨为理．信号与系统（第二 版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００．
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中国科教创新导刊 Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
信号与系统是电子电气类专业本科生的 主干专业基础课程，是其后续课程，如数字信 号处理、 数字图像处理等的先修课，也是研究 生入学考试的重要课程。 本课程理论性较强，内容包含知识点、 公 式较多、 较细。 讲授过程中发现学生对信号能量 与功率、 能量谱与功率谱、 频谱与频谱密度这些 细节问题搞不清楚，遇到信号能量与功率的求 解问题，就感到无从下手，影响了整体学习效 果。 在此就以上问题作一下讨论与总结。
R(τ ) = lim ∫
T /2
T →∞ −T / 2
f (t ) f (t − τ )dt ／ Ｔ ， 其 傅
立叶变换为Ｐ（ｗ），再根据式（４）求解 Ｐ 。 对于能量信号，其自相关函数Ｒ（τ）＝∫ｆ （ｔ）ｆ（ｔ－τ）ｄτ，其傅立叶变换为Ｅ（ｗ），再根据 式 （５）求 解 Ｅ。 由上分析可知，能量与功率是信号本身特 性，在时域中可求解。 因能量与功率守恒，也 可在变换域求解，它是能量守恒定理在信号分 析中的体现，也是信号的时域特性与频域特性 的一个重要关系。 变换域中求解可利用直接的 能量谱或是功率谱，也可用间接的自相关函 数。 另外说明一点，对于功率信号，若给出傅立 叶系数，直接利用式（３）求解功率会更简单。
中国科教创新导刊
２０１０ ＮＯ．２３ Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
电化教育研究
ห้องสมุดไป่ตู้
解析信号与系统课程中的重要概念： 能量与功率
宫娜娜 王缓缓 赵春雨 （ 黄河科技学院通信工程系 郑州 ４ ５ ０ ０ ６ ３ ） 摘 要 : 本文主要讨论信号与系统课程中的两个重要的概念——能量与功率 , 引出能量信号与功率信号的判断方法 ; 接着从傅立叶级数与 傅立叶变换关系, 引出频谱与频谱密度的概念 ; 最后总结各种求解信号能量与功率的方法。 关键词 : 能量 功率 能量谱 功率谱 中图分类号 : G 6 4 2 文献标识码: A 文章编号: 1 6 7 3 - 9 7 9 5 ( 2 0 1 0 )0 8 (b )- 0 1 6 2 -0 1
∑
以ｗ 为横坐标，Ａ ｎ、 ｜Ｆ ｎ ｜为纵坐标，即只在 ｗ＝ｎΩ处有高度为Ａ ｎ、 ｜Ｆ ｎ｜的谱线，即幅度谱。 同理也可以得到ｗ与φｎ的关系图，即相位谱。 幅度谱和相位谱反映了谐波分量的幅值和相位 随谐波频率的变化情况。 周期信号的频谱是具 有离散性、 谐波性、 收敛性［２］。 对于非周期信号而言，可看作是周期信号 当周期Ｔ趋向于无穷大，ｆ趋于无穷小。 此时，谱 线间隔Ω趋于无穷小，离散谱变成连续谱；各 频率分量幅度Ａｎ、 ｜Ｆ ｎ｜也趋向于无穷小，无法画 出频谱图。 但各个频率分量幅度依然成一定比 例关系，将各个无穷小的系数Ｆ ｎ除以无穷小的 ｆ，从频谱得到了频谱密度的概念，即单位频率 上的频谱，这样就得到了一般意义上的傅立叶 变换。 即
频谱密度。
上式中第一个等号右端的第一项为直流 功率，第二项为各次谐波功率之和。 另外，可借助功率谱Ｐ（ｗ）对频率的积分求 解功率Ｐ。 具体思路为：
lim ｜ＦＴ（ｊｗ）｜２／Ｔ，其中ｆＴ（ｔ） （１）求解 P(w) = T →∞
２ 频谱与频谱密度
傅立叶级数是针对周期信号而言的，实质 上是实现了信号的分解，把周期信号分解成三 角函数或虚指数函数的线性组合，即 ∞ ∞ A Fn e jnΩt （１） f (t ) = 0 + ∑ An cos( nΩt + ϕ n ) ＝ 2 n=1 n = −∞
能量有界（０＜Ｅ＜∞， Ｐ ＝０），称其为能量有限信 号，简称能量信号。 若信号ｆ（ｔ）的功率有界（０ ＜ Ｐ ＜∞，Ｅ＝∞），称其为功率有限信号，简称功 率 信 号 ［１］ 。 掌握概念之后，判断一个信号是否为能量 或是功率信号很重要。 用定义一般比较复杂， 要给学生作引申与总结，可用实际信号举例说 明，学 生 更 容 易 接 受 。 （１）一个信号不可能既是能量信号又是功 率信号。 因为这两个概念相互对立，即能量和 功率不可能都是有限值。 （２）一个信号可以既不是能量又不是功率信 号，如无界信号，例①为斜坡信号ｒ（ｔ）＝ｔε（ｔ），其 中ε（ｔ）为阶跃信号；例②为周期为Ｔ的冲激序列 δＴ（ｔ），其中δ（ｔ）是冲激信号。 （３）能量信号都是非周期信号，主要包括： 时限信号（在有限的时间范围内为非零值），如 矩形，三角信号等；一些有界的非周期信号如 １０ｅ－２ｔε（ｔ）。 （４）功率信号可以是周期的也可以是非周 期的，如直流信号１，有界的周期信号ｓｉｎｔ；阶跃 信号ε（ｔ），有始周期信号ｓｉｎｔε（ｔ）。 掌握以上结论，可有效判断信号的类型。 另外，还可从频域角度研究能量与功率，这不 能不提到傅里叶级数与傅里叶变换，即频谱与
１ 能量信号和功率信号
对于一个信号ｆ（ｔ），其能量定义为在区间 （－∞，∞）上ｆ（ｔ）的能量，用Ｅ表示， E = lim ∫ | f (t ) |2 dt ，功率Ｐ 定义为在（－∞，∞）
a→∞ − a a
方法３，利用自相关函数的频域方法对于功 率信号，其自相关函数
E 若信号ｆ（ｔ）的 上ｆ（ｔ）的平均功率， P = lim 2a 。 a→∞
是从ｆ（ｔ）中截取｜ｔ｜≤Ｔ／２的函数。 1 P( w)dw （４） （２）利用 P = ∫ P (w)df = 2π ∫ 对于能量信号 f (t ) ，利用Ｆ（ｊｗ）求解其能 量谱Ｅ（ｊｗ）＝｜Ｆ（ｊｗ）｜２，再用Ｅ（ｊｗ）对频率积分得 到能量。
E = ∫ E ( w)df = 1 | F ( jw) |2 dw （５） 2π ∫
lim FnT = Ｆ（ｊｗ）＝ T →∞
∫ f (t )e
− jwt
dt （２）
用有限的离散谱线高度，除以所占的无穷 窄的频率点，可解释为何周期信号的傅立叶变 换（频谱密度）包含冲激函数。 只不过为了方 便，将频谱密度简称为频谱，这点特别需要跟 学生强调。
参考文献 ３ 能量与功率的求解
总结三种方法，第一种为时域求解，后两 种为频域求解，而频域方法中又可以涉及到另 外两个重要概念，能量谱Ｅ（ｊｗ）与功率谱Ｐ（ｗ） （单位频率上的能量与功率）。 方法１， 利用时域定义式直接计算。 之前 可用前述方法，简单判断一下信号类型。 方法２，直接频域方法。 对于功率信号，又是周期信号，若已知傅 立叶系数Ａｎ或是｜Ｆ ｎ｜，则有 P = (